Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Ecuación de líneas


En geometría coordinada, la ecuación de una línea es un concepto fundamental utilizado para describir una línea recta en un plano. Entender la ecuación de las líneas es importante porque nos ayuda a representar y analizar formas geométricas y resolver problemas relacionados con ellas. En este artículo, aprenderemos sobre las ecuaciones de líneas en detalle, incluidas las diferentes formas de ecuaciones de líneas, cómo derivarlas y cómo usarlas.

¿Qué es una línea?

Una línea es una figura unidimensional recta que no tiene grosor y se extiende infinitamente en ambas direcciones. Está determinada por al menos dos puntos. En el plano de coordenadas, generalmente especificamos una línea identificando su pendiente e intersección en el eje y o conociendo dos puntos distintos en ella.

Forma pendiente-intersección

La forma pendiente-intersección es una de las formas más simples y más utilizadas de una ecuación de línea. Se expresa como:

y = mx + b

Donde:

  • m es la pendiente de la línea.
  • b es la intersección en el eje y de la línea, que es el punto donde la línea cruza el eje y.

La pendiente (m) representa el cambio en la coordenada y por un cambio de una unidad en la coordenada x. Se calcula como el cociente de la subida (cambio en y) sobre el recorrido (cambio en x). Si la pendiente es positiva, la línea sube de izquierda a derecha; si es negativa, la línea baja.

Ejemplo visual:

y = mx + b 0 X Y

Forma punto-pendiente

La forma punto-pendiente es útil cuando se conoce un punto en la línea y la pendiente. Se presenta de esta manera:

y - y1 = m(x - x1)

Donde:

  • (x1, y1) es un punto conocido en la línea.
  • m es la pendiente de la línea.

Esta forma es especialmente útil para encontrar rápidamente la ecuación de una línea cuando se conocen los puntos en la línea y la pendiente.

Ejemplo en texto:

Supongamos que tenemos un punto (3, 2) y pendiente 4. La forma punto-pendiente de la línea se puede escribir como:

y - 2 = 4(x - 3)

Ampliando esta ecuación se obtiene el resultado:

y = 4x - 12 + 2

Por lo tanto, la ecuación se convierte en:

y = 4x - 10

Forma general de la línea

La forma normal de una línea es una manera directa de expresar la ecuación de la línea en un formato estándar:

Ax + By + C = 0

Aquí:

  • A, B y C son constantes.
  • Tanto A como B no son cero.

Aunque esta forma es menos intuitiva que la forma pendiente-intersección, todavía puede ser útil porque representa todas las líneas, incluidas las líneas verticales, que no pueden expresarse como y = mx + b.

Ejemplo en texto:

Si tenemos la ecuación de la línea 3x + 4y - 12 = 0, podemos reorganizarla en forma pendiente-intersección para encontrar su pendiente e intersección en el eje y:

4y = -3x + 12
y = -3/4x + 3

Líneas verticales y horizontales

Las líneas verticales y horizontales son casos especiales de líneas rectas con ecuaciones únicas.

Líneas verticales

Una línea vertical es paralela al eje y y su pendiente es indefinida. La ecuación de la línea vertical es:

x = a

donde a es la coordenada x de todos los puntos en la línea.

Líneas horizontales

Una línea horizontal es paralela al eje x y tiene una pendiente de cero. La ecuación de la línea horizontal es:

y = b

donde b es la coordenada y de todos los puntos en la línea.

Ejemplo visual:

y = b x = a 0 X Y

Forma de dos puntos

Esta forma es necesaria cuando no conoces la pendiente pero tienes dos puntos (x1, y1) y (x2, y2) en la línea. Se expresa de la siguiente manera:

y - y1 = ((y2 - y1)/(x2 - x1)) * (x - x1)

Esta ecuación básicamente calcula la pendiente dividiendo la diferencia en los valores de y por la diferencia en los valores de x.

Ejemplo en texto:

Para dos puntos (2, 3) y (5, 11), inserta los valores en la fórmula y obtén:

y - 3 = ((11 - 3)/(5 - 2)) * (x - 2)

Dado que ((11 - 3)/(5 - 2)) = 8/3, la ecuación se convierte en:

y - 3 = (8/3)(x - 2)

Ampliándolo obtenemos:

y = (8/3)x - 16/3 + 3
y = (8/3)x + 9/3
y = (8/3)x + 3

Correlaciones entre las diferentes formas

Entender las diferentes formas de ecuaciones de líneas te ayuda a modificarlas para satisfacer tus necesidades. Por ejemplo, convertir la forma punto-pendiente en forma pendiente-intersección puede facilitar la identificación de la pendiente y la intersección en el eje y.

Ejemplo de conversión en texto:

Supongamos que comenzamos con la forma punto-pendiente de una línea: y - 2 = 5(x - 1). Para convertir esto en forma pendiente-intersección:

y - 2 = 5x - 5
y = 5x - 5 + 2
y = 5x - 3

De la transformación es claro que la pendiente m es 5, y la intersección b es -3. Tales transformaciones simplifican la visualización y comprensión del comportamiento de la línea en el gráfico.

Conclusión

La ecuación de una línea en la geometría coordinada abarca muchas formas diferentes, cada una de las cuales tiene su propia utilidad que requiere diferentes puntos de datos. Dominar estas formas enriquece tu comprensión geométrica y te equipa con herramientas versátiles para resolver problemas complejos que involucran líneas. Ya sea trabajando con la simplicidad de la forma pendiente-intersección, la singularidad de las formas punto-pendiente o de dos puntos, o la generalidad de la forma estándar, estas ecuaciones son fundamentales para la geometría coordinada.


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