Класс 11
  1. Алгебра  1.1. Понимание последовательностей и рядов в алгебре  1.1.1. Понимание арифметических последовательностей  1.1.2. Арифметические прогрессии  1.1.3. Понимание геометрических последовательностей  1.1.4. Понимание геометрических рядов  1.1.5. Сходимость и расходимость  1.1.6. Понимание "суммы до бесконечности" в алгебре  1.1.7. Обозначение Сигма  1.2. Комплексные числа  1.2.1. Понимание мнимых и комплексных чисел  1.2.2. Операции с комплексными числами  1.2.3. Полярная и декартова формы комплексных чисел  1.2.4. Комплексные сопряженные  1.2.5. Модуль и аргумент  1.2.6. Теорема Муавра  1.2.7. Степени и корни комплексных чисел  1.3. Бином Ньютона  1.3.1. Расширение бинома  1.3.2. Общие термины в биномиальной теореме  1.3.3. Биномиальный коэффициент  1.3.4. Применения биномиальной теоремы  1.3.5. Треугольник Паскаля
  2. Функции и графики  2.1. Типы задач  2.1.1. Полиномиальная функция  2.1.2. Рациональные функции  2.1.3. Экспоненциальная функция  2.1.4. Логарифмическая функция  2.1.5. Тригонометрические функции  2.1.6. Поштучная работа  2.2. Преобразование функций  2.2.1. Перевод  2.2.2. Понимание отражений в преобразованиях функций  2.2.3. Растяжение и растяжение  2.2.4. Понимание вращения в функциях и графиках  2.3. Обратная функция  2.3.1. Нахождение обратной функции  2.3.2. Графики обратных функций  2.3.3. Свойства обратных функций  2.3.4. Ограничения для обратных функций
  3. Тригонометрия  3.1. Тригонометрические отношения и идентичности  3.1.1. Основные тригонометрические отношения  3.1.2. Понимание пифагорейских тождеств в тригонометрии  3.1.3. Формулы суммы и разности углов  3.1.4. Формула двойного угла  3.1.5. Понимание формул половинного угла в тригонометрии  3.1.6. Формулы произведения к сумме и суммы к произведению  3.2. Тригонометрические уравнения  3.2.1. Решение тригонометрических уравнений  3.2.2. Общие решения в тригонометрических уравнениях  3.3. Графики тригонометрических функций  3.3.1. График синуса  3.3.2. Понимание графика косинуса  3.3.3. График тангенса  3.3.4. Регулировка амплитуды и длительности  3.3.5. Фазовое изменение на графике тригонометрических функций  3.4. Применение тригонометрии  3.4.1. Законы синусов и косинусов  3.4.2. Площадь треугольников  3.4.3. Решение треугольников  3.4.4. Подшипники и навигация
  4. Введение в математический анализ  4.1. Понимание пределов и непрерывности в математическом анализе  4.1.1. Понятие предела  4.1.2. Односторонние пределы  4.1.3. Понимание пределов на бесконечности в математическом анализе  4.1.4. Непрерывность функции  4.1.5. Типы разрывов  4.2. Дискриминация  4.2.1. Определение производной  4.2.2. Правила дифференцирования  4.2.3. Производные высшего порядка  4.2.4. Правило цепи  4.2.5. Правило произведения  4.2.6. Понимание правила частного в математическом анализе  4.3. Применение дифференцирования  4.3.1. Скорость изменения  4.3.2. Касательная и нормаль  4.3.3. Максимум и минимум  4.3.4. Понимание возрастающих и убывающих функций  4.3.5. Задачи оптимизации  4.3.6. График кривой  4.3.7. Связанные скорости в применениях дифференцирования  4.4. Что такое интеграция?  4.4.1. Первообразные  4.4.2. Неопределенный интеграл  4.4.3. Определенный интеграл  4.4.4. Основная теорема анализа  4.4.5. Техники интеграции  4.4.6. Понимание площади под кривой в интегрировании  4.5. Применения интегрирования  4.5.1. Площадь между кривыми  4.5.2. Объемы тел вращения  4.5.3. Понимание среднего значения функции в математическом анализе
  5. Векторы и матрицы  5.1. Векторы  5.1.1. Введение  5.1.2. Операции с векторами  5.1.3. Понимание скалярного произведения  5.1.4. Векторное произведение  5.1.5. Применение в геометрии  5.1.6. Проекция векторов  5.2. Матрицы  5.2.1. Типы матриц  5.2.2. Понимание операций с матрицами  5.2.3. Определители  5.2.4. Обратная матрица  5.2.5. Решение систем линейных уравнений  5.2.6. Правило Крамера
  6. Вероятность и статистика  6.1. Понимание вероятности в математике  6.1.1. Основные понятия вероятности  6.1.2. Условная вероятность  6.1.3. Введение в независимые и зависимые события в теории вероятностей  6.1.4. Теорема Байеса  6.1.5. Комбинаторная вероятность  6.2. Случайные величины  6.2.1. Дискретная случайная величина  6.2.2. Непрерывная случайная величина  6.2.3. Распределения вероятностей  6.3. Распределения вероятностей  6.3.1. Понимание биномиального распределения  6.3.2. Нормальное распределение  6.3.3. Распределение Пуассона  6.3.4. Равномерное распределение  6.4. Фигуры  6.4.1. Меры центральной тенденции  6.4.2. Меры разброса  6.4.3. Сбор и представление данных  6.4.4. Корреляция и Регрессия  6.4.5. Техники выборки
  7. Координатная геометрия  7.1. Прямые линии в координатной геометрии  7.1.1. Форма наклона и пересечения в координатной геометрии  7.1.2. Формула расстояния в прямых линиях  7.1.3. Понимание формулы средней точки в координатной геометрии  7.1.4. Угол между линиями  7.1.5. Уравнение прямых  7.2. Конические сечения  7.2.1. Круг  7.2.2. Введение в параболы  7.2.3. Эллипс в коническом сечении  7.2.4. Понимание гиперболы в конических сечениях  7.2.5. Свойства конических сечений  7.2.6. Параметрические уравнения конусов  7.2.7. Полярные координаты коник
  8. Арифметическая логика  8.1. Введение в логику в математической логике  8.1.1. Утверждения и логические связки  8.1.2. Таблицы истинности  8.1.3. Логическое равенство  8.1.4. Кванторы в логике и математической логике  8.1.5. Методы доказательств  8.2. Понимание доказательств в математической логике  8.2.1. Прямое доказательство  8.2.2. Косвенные доказательства  8.2.3. Понимание доказательства от противного  8.2.4. Доказательство по математической индукции

Класс 11 → Координатная геометрия → Прямые линии в координатной геометрии ↓


Форма наклона и пересечения в координатной геометрии


В мире координатной геометрии одно из самых важных уравнений называется "форма наклона и пересечения" или часто "форма наклона-пересечения". Эта форма позволяет быстро и легко понять и нанести на график характеристики прямой линии с помощью алгебры.

Общее уравнение для формы наклона-пересечения прямой линии выражается как:

    y = mx + c

В этом уравнении:

  • y — это зависимая переменная (обычно представляет вертикальное положение на графике)
  • x — это независимая переменная (обычно представляет горизонтальное положение на графике)
  • m — это наклон линии, который измеряет ее крутизну
  • c — это y-пересечение, где линия пересекает y-ось

Концепция наклона

Наклон линии, представленный m, является мерой ее наклона или крутизны. Он определяется как отношение изменения в вертикальном направлении ("подъем") к изменению в горизонтальном направлении ("пробег") между любыми двумя различными точками на линии. Он выражается математически как:

    m = (изменение по y) / (изменение по x) = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)

Рассмотрим две точки на линии: (x₁, y₁) и (x₂, y₂). Здесь (y₂ - y₁) — это подъем, а (x₂ - x₁) — это пробег. Если линия идет вверх слева направо, наклон положительный, а если линия идет вниз, он отрицательный.

  
  
  

  
  

  
  
  
  (x₁, y₁)
  (x₂, y₂)

Концепция пересечения

Пересечение в формуле наклона-пересечения представлено c. Это значение — точка, в которой линия пересекает y-ось. В этой точке значение x равно нулю. Таким образом, математическое объяснение для y-пересечения:

    c = y когда x = 0

Если у вас есть уравнение линии, вы можете быстро определить, где линия пересечет y-ось, взглянув на значение c.

  
  
  

  
  

  
  
  C

Примеры формы наклона и пересечения

Рассмотрим несколько примеров, чтобы лучше понять эти концепции:

Пример 1: Прямая линия

Рассмотрим уравнение прямой, которое задано как:

    y = 2x + 3

Здесь наклон m = 2, что означает, что для каждого увеличения x на единицу y увеличивается на 2 единицы. y-пересечение c = 3, что означает, что линия пересекает y-ось в точке (0, 3).

Пример 2: Отрицательный наклон

Рассмотрим уравнение:

    y = -4x + 2

В этом случае наклон m = -4 указывает на то, что y уменьшается на 4 единицы для каждого увеличения x на единицу. y-пересечение c = 2, так что линия пересекает y-ось в точке (0, 2).

Пример 3: Горизонтальная линия

Рассмотрим уравнение линии:

    y = 5

Это уравнение представляет горизонтальную линию. Здесь наклон m = 0, потому что отсутствует член x. Линия параллельна x-оси и пересекает y-ось на c = 5.

Пример 4: Вертикальная линия

Обратите внимание, что уравнения в форме наклона-пересечения не могут представлять вертикальные линии, так как наклон m был бы неопределен. Вертикальная линия может быть представлена уравнением x = k, где k — это константа.

Вывод формы наклона-пересечения по двум точкам

Если вы знаете две точки на линии, вы можете получить форму наклона-пересечения этой линии. Рассмотрим точки (x₁, y₁) и (x₂, y₂).

Чтобы найти уравнение линии, проходящей через эти точки:

  1. Сначала найдите наклон m:
    2.         m = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)
  2. Затем используйте точку (например, (x₁, y₁)), чтобы найти y-пересечение c.

    3. Преобразовав формулу наклона-пересечения:

            y - y₁ = m(x - x₁)

    Наконец, решая для y, получаем:

            y = mx + c

    Где c = y₁ - m*x₁.

Применение формы наклона-пересечения

Форма наклона-пересечения широко используется в математике, физике, инженерии и анализе данных. Обладая прочными знаниями об этой концепции, вы можете легко прогнозировать и моделировать линейные зависимости между факторами. Вот некоторые примеры:

  • Экономика: Определение функции затрат, где y — это стоимость, а x — произведенное количество.
  • Физика: Вычисление скорости как функции времени при постоянном ускорении.
  • Наука о данных: Построение простых линейных моделей регрессии, в которых одна переменная зависит от другой.

Заключение

Понимание формы наклона и пересечения упрощает анализ, интерпретацию и построение линейных уравнений. Эти уравнения являются основными для алгебры и встречаются во множестве приложений в различных областях, что делает эту тему важной для изучения каждого ученика по математике.


Класс 11 → 7.1.1


U
username
0%
завершено в Класс 11

← предыдущая (7.1)
Прямые линии в координатной геометрии
следующая (7.1.2) →
Формула расстояния в прямых линиях

комментарии 



Форма наклона и пересечения в координатной геометрии

https://www.buddymath.com/g11/7.1.1?bmal=ru