11年生
  1. 代数  1.1. 代数における数列と級数の理解  1.1.1. 等差数列の理解  1.1.2. 等差数列  1.1.3. 幾何数列の理解  1.1.4. 等比数列を理解する  1.1.5. 収束と発散  1.1.6. 代数学における「無限への和」を理解する  1.1.7. シグマ記法  1.2. 複素数  1.2.1. 虚数と複素数の理解  1.2.2. 複素数の演算  1.2.3. 複素数の極形式とデカルト形式  1.2.4. 複素数の共役  1.2.5. 絶対値と偏角  1.2.6. ド・モアブルの定理  1.2.7. 複素数の冪乗と根  1.3. 二項定理  1.3.1. 二項式の展開  1.3.2. 二項定理の一般的な用語  1.3.3. 二項係数  1.3.4. 二項定理の応用  1.3.5. パスカルの三角形
  2. 関数とグラフ  2.1. タスクのタイプ  2.1.1. 多項式関数  2.1.2. 有理関数  2.1.3. 指数関数  2.1.4. 対数関数  2.1.5. 三角関数  2.1.6. 断片的な作業  2.2. 関数の変換  2.2.1. 変換  2.2.2. 関数の変換における反射の理解  2.2.3. ストレッチとストレッチ  2.2.4. 関数とグラフにおける回転の理解  2.3. 逆関数  2.3.1. 逆を見つける  2.3.2. 逆関数のグラフ  2.3.3. 逆関数の性質  2.3.4. 逆関数の制限
  3. 三角法  3.1. 三角比と恒等式  3.1.1. 基本的な三角比  3.1.2. 三角法におけるピタゴラスの恒等式の理解  3.1.3. 和差公式  3.1.4. 二倍角の公式  3.1.5. 三角法における半角公式の理解  3.1.6. 積和公式と和積公式  3.2. 三角方程式  3.2.1. 三角方程を解く  3.2.2. 三角方程式における一般解  3.3. 三角関数のグラフ  3.3.1. 正弦グラフ  3.3.2. コサイングラフの理解  3.3.3. 正接グラフ  3.3.4. 振幅と期間の調整  3.3.5. 三角関数のグラフにおける位相変化  3.4. 三角法の応用  3.4.1. 正弦定理と余弦定理  3.4.2. 三角形の面積  3.4.3. 三角形の解法  3.4.4. ベアリングとナビゲーション
  4. 微分積分学入門  4.1. 微積分における限界と連続体の理解  4.1.1. 極限の概念  4.1.2. 一方の極限  4.1.3. 無限の極限を理解する  4.1.4. 関数の連続性  4.1.5. 不連続性の種類  4.2. 差別化  4.2.1. 導関数の定義  4.2.2. 微分の規則  4.2.3. 高次導関数  4.2.4. 連鎖律  4.2.5. 積の法則  4.2.6. 微分法における商の法則の理解  4.3. 微分の応用  4.3.1. 変化率  4.3.2. 接線と法線  4.3.3. 最大値と最小値  4.3.4. 増加関数と減少関数の理解  4.3.5. 最適化問題  4.3.6. 曲線をグラフ化する  4.3.7. 微分の応用における関連レート  4.4. 積分とは何ですか？  4.4.1. 不定積分  4.4.2. 不定積分  4.4.3. 定積分  4.4.4. 微分積分学の基本定理  4.4.5. 積分の技法  4.4.6. 積分における曲線の下の面積の理解  4.5. 積分の応用  4.5.1. 曲線間の面積  4.5.2. 回転体の体積  4.5.3. 微積分での関数の平均値を理解する
  5. ベクトルと行列  5.1. ベクトル  5.1.1. 紹介  5.1.2. ベクトルの演算  5.1.3. 内積の理解  5.1.4. クロス積  5.1.5. 幾何学における応用  5.1.6. ベクトルの射影  5.2. 行列  5.2.1. 行列の種類  5.2.2. 行列演算の理解  5.2.3. 行列式  5.2.4. 行列の逆行列  5.2.5. 線形方程式系の解法  5.2.6. クラメルの定理
  6. 確率と統計  6.1. 数学における確率の理解  6.1.1. 基本的な確率の概念  6.1.2. 条件付き確率  6.1.3. 確率における独立事象と従属事象の紹介  6.1.4. ベイズの定理  6.1.5. 組合せ確率  6.2. 確率変数  6.2.1. 離散確率変数  6.2.2. 連続確率変数  6.2.3. 確率分布  6.3. 確率分布  6.3.1. 二項分布を理解する  6.3.2. 正規分布  6.3.3. ポアソン分布  6.3.4. 均等な分布  6.4. 図  6.4.1. 代表値の尺度  6.4.2. 散布度の測定  6.4.3. データ収集と表現  6.4.4. 相関と回帰  6.4.5. サンプリング技術
  7. 座標幾何  7.1. 座標幾何学における直線  7.1.1. 座標幾何学における傾きと切片の形式  7.1.2. 直線の距離公式  7.1.3. 座標幾何における中点公式の理解  7.1.4. 線間の角度  7.1.5. 直線の方程式  7.2. 円錐曲線  7.2.1. 円  7.2.2. 放物線の紹介  7.2.3. 円錐曲線における楕円  7.2.4. 円錐曲線における双曲線の理解  7.2.5. 円錐の特性  7.2.6. 円錐曲線のパラメトリック方程式  7.2.7. 円錐曲線の極座標
  8. 算術論理  8.1. 数学的論理における論理の紹介  8.1.1. 文と論理結合子  8.1.2. 真理値表  8.1.3. 論理的同値  8.1.4. 数学論理における論理の量化子  8.1.5. 証明技法  8.2. 数学的論理における証明の理解  8.2.1. 直接証拠  8.2.2. 間接的証明  8.2.3. 背理法の理解  8.2.4. 数学的帰納法による証明

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図


統計学は、データの収集、分析、解釈、提示、整理を扱う数学の魅力的な分野です。高校11年生の数学では、統計は生徒がデータを意味のある方法で扱うことを理解するのを助ける上で重要な役割を果たしています。この包括的なガイドでは、データ収集、中心傾向の指標（平均、中央値、モードなど）、データ分散（範囲、分散、標準偏差など）、および異なる種類のグラフによるデータ表現を含む統計の基本概念を探ります。

データ収集

データ収集は統計学の最初のステップです。これは、さまざまな情報源から情報や数値を収集するプロセスです。データは調査、実験、観察、既存の記録から得ることができます。この収集された情報は、意思決定や予測を行うために分析できる形で提示されます。

データには主に2つのタイプがあります：

  • 質的データ：このタイプのデータは記述的であり、特性や品質を示します。たとえば、駐車場にある車の色（赤、青、黒）です。
  • 量的データ：このタイプのデータは数値であり、量を測定します。たとえば、クラスの生徒の身長（150 cm、160 cm、175 cm）です。

データ収集の例

たとえば、高校11年生が毎週何時間勉強しているかのデータを収集したいとします。調査を行って、各生徒に勉強時間を尋ねることができます。収集されたデータは次のようになります：

{5, 7, 8, 4, 10, 6, 7, 9, 3, 5}

中心傾向の指標

中心傾向の指標は、データセットの中心を説明する統計的測定値です。データの中間を表す単一の値を提供し、一目で理解しやすくします。

意味

平均は、データセットの算術平均です。

平均を計算するには、すべての数値を加算してから、数値の数で割ります。

公式

平均 = (すべてのデータ値の合計) / (データ値の数)

例

勉強時間のデータセットを考えます： {5, 7, 8, 4, 10, 6, 7, 9, 3, 5}
まず、すべての時間を合計します： 5 + 7 + 8 + 4 + 10 + 6 + 7 + 9 + 3 + 5 = 64.
次に、観測数（10）で合計を割ります：

平均 = 64 / 10 = 6.4

中央値

中央値は、数値が順序付けられたときのデータセットの中央値です。

中央値を見つける手順

  1. 数値を昇順に並べます。
  2. 観測数が奇数の場合、中央値は中央の数値です。
  3. 観測数が偶数の場合、中央値は2つの中央値の平均です。

例

同じ勉強時間のデータセットを使用します： {5, 7, 8, 4, 10, 6, 7, 9, 3, 5}
ステップ1：データを昇順に並べます： {3, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10}
ステップ2：データポイントの数が偶数（10）であるため、中央値は5番目と6番目の値の平均です：

中央値 = (6 + 7) / 2 = 6.5

方法

モードは、データセットで最も頻繁に出現する値です。

例

再び、勉強時間のデータセットを使用します： {5, 7, 8, 4, 10, 6, 7, 9, 3, 5}
データを観察すると、5と7の数字がそれぞれ2回出現していることがわかります。このため、データセットにはモードが2つあります： 5 と 7この場合、データセットは二峰性です。

データの分散の指標

中心傾向の指標がデータセットの中心を表すのに対し、分散の指標はデータが中心からどれだけ広がっているかを説明します。分散を理解することで、平均がデータをどれだけよく表しているかを評価できます。

カテゴリ

範囲は、データセット内の最高値と最低値の差である簡単な分散の指標です。

公式

範囲 = 最高値 - 最低値

例

私たちの勉強時間のデータセットから： {3, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10}、最高値は10であり、最低値は3です。

範囲 = 10 - 3 = 7

争い

分散は、一組の数値がその平均値からどれだけ離れているかを示します。

公式

分散 (σ^2) = (Σ(X - 平均)^2) / N

ここで、Σは合計を表し、Xは各データ値、平均は算術平均、Nはデータ値の数を表します。

例

データセットを使用します： {5, 7, 8, 4, 10, 6, 7, 9, 3, 5}の平均は6.4です：

分散 = [(5-6.4)^2 + (7-6.4)^2 + (8-6.4)^2 + (4-6.4)^2 + (10-6.4)^2 + (6-6.4)^2 + (7-6.4)^2 + (9-6.4)^2 + (3-6.4)^2 + (5-6.4)^2] / 10 = [1.96 + 0.36 + 2.56 + 5.76 + 12.96 + 0.16 + 0.36 + 6.76 + 11.56 + 1.96] / 10 = 44.8 / 10 = 4.48

標準偏差

標準偏差は、分散の平方根であり、平均からの平均距離の尺度を提供します。

公式

標準偏差 (σ) = √分散

例

計算した分散、4.48を使用します：

標準偏差 = √4.48 ≈ 2.12

データ表現

データを視覚的に表現することで、情報を明確に理解し、伝えることができます。よく使われるデータの図示方法を見てみましょう。

棒グラフ

棒グラフは、矩形のバーを使って異なるカテゴリの頻度を示すカテゴリカルデータを表します。

例

学生の好きな教科についてデータを収集したとします：

  • 数学：8人の学生
  • 理科：5人の学生
  • 英語：4人の学生
数学 理科 英語 10 8 6

ヒストグラム

ヒストグラムはバーグラフに似ていますが、連続データのために使用されます。データは区間に分けられ、各区間は垂直のバーに対応します。

例

勉強時間のデータセットのヒストグラムは次のようになります：

3-5 6-8 9-11

円グラフ

円グラフは、全体がどのように部分に分かれているかを示し、データを円状のグラフで表現します。

例

異なるスポーツに対するクラスの好みの分布を示す円グラフを考えます：

  • サッカー：40%
  • バスケットボール：30%
  • 野球：20%
  • その他：10%
サッカー バスケットボール 野球 その他

結論

統計学は、データを通じて世界を分析し理解するための数学の重要な部分です。データの収集方法、中心傾向と分散の測定方法、およびビジュアルに表現する方法を理解することにより、洞察を得て情報に基づいた判断を下すことができます。試験の準備をしている場合でも、日常生活でこれらのスキルを応用している場合でも、統計的思考は情報の解釈と結論を引き出すための合理的なアプローチを育成します。


11年生 → 6.4


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完了までの時間 11年生

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均等な分布
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代表値の尺度

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