कक्षा 11 → सम्भाव्यता और सांख्यिकी ↓
सांख्यिकी
सांख्यिकी गणित की एक आकर्षक शाखा है जो डेटा को इकट्ठा करने, विश्लेषण करने, व्याख्या करने, प्रस्तुत करने और व्यवस्थित करने से संबंधित है। कक्षा 11 के गणित में, सांख्यिकी छात्रों को डेटा के साथ एक सार्थक तरीके से काम करने की समझ विकसित करने में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। इस व्यापक मार्गदर्शिका में, हम सांख्यिकी की बुनियादी अवधारणाओं की खोज करेंगे, जिनमें डेटा संग्रहण, केंद्रीय प्रवृत्ति के माप (जैसे, माध्य, माधिका, और मोड), डेटा विसप्ति (जैसे, परास, विचलन, और मानक विचलन), और विभिन्न प्रकार के ग्राफ्स के माध्यम से डेटा प्रदर्शन शामिल हैं।
डेटा संग्रहण
सांख्यिकी में डेटा संग्रहण प्राथमिक कदम है। यह वह प्रक्रिया है जिसमें हम विभिन्न स्रोतों से जानकारी या संख्याएँ इकट्ठा करते हैं। डेटा सर्वेक्षणों, प्रयोगों, पर्यवेक्षणों और मौजूदा रिकॉर्डों से प्राप्त किया जा सकता है। इस एकत्र किए गए जानकारी को एक ऐसे रूप में प्रस्तुत किया जाता है जिसे निर्णय लेने या भविष्यवाणियाँ करने के लिए विश्लेषण किया जा सके।
डेटा के दो मुख्य प्रकार हैं:
- गुणात्मक डेटा: इस प्रकार का डेटा वर्णनात्मक होता है और विशेषताओं या गुणों को दर्शाता है। उदाहरण के लिए, पार्किंग लॉट में कारों के रंग (लाल, नीला, काला)।
- मात्रात्मक डेटा: इस प्रकार का डेटा संख्यात्मक होता है और मात्राओं को मापता है। उदाहरण के लिए, एक कक्षा में छात्रों की ऊँचाई (150 सेमी, 160 सेमी, 175 सेमी)।
डेटा संग्रहण का उदाहरण
मान लीजिए हम यह डेटा इकट्ठा करना चाहते हैं कि कक्षा 11 के छात्र प्रति सप्ताह कितने घंटे पढ़ाई करते हैं। हम एक सर्वेक्षण कर सकते हैं और प्रत्येक छात्र से पूछ सकते हैं कि वे कितने घंटे पढ़ाई में लगाते हैं। हमारा एकत्र किया गया डेटा इस प्रकार हो सकता है:
{5, 7, 8, 4, 10, 6, 7, 9, 3, 5}केंद्रीय प्रवृत्ति के माप
केंद्रीय प्रवृत्ति के माप सांख्यिकी माप होते हैं जो डेटा सेट के केंद्र का वर्णन करते हैं। यह एक मान प्रदान करता है जो डेटा के मध्य को प्रतिनिधित्व करता है, जिससे उसे एक नजर में समझना आसान हो जाता है।
माध्यम
माध्य एक डेटा सेट का अंकगणितीय औसत होता है।
माध्य की गणना करने के लिए, हम सभी संख्याओं को जोड़ते हैं और फिर संख्याओं की गणना से विभाजित करते हैं।
सूत्र
माध्य = (सभी डेटा मानों का योग) / (डेटा मानों की संख्या)उदाहरण
अध्ययन घंटों के डेटा सेट पर विचार करें: {5, 7, 8, 4, 10, 6, 7, 9, 3, 5}
पहले, हम सभी घंटों का योग करते हैं: 5 7 8 4 10 6 7 9 3 5 = 64।
फिर, हम कुल को अवलोकनों की संख्या (10) से विभाजित करते हैं:
माध्य = 64 / 10 = 6.4माधिका
माधिका एक डेटा सेट का मध्य मान होता है जब मानों को क्रम में व्यवस्थित किया जाता है।
माधिका खोजने के लिए चरण
- संख्याओं को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।
- यदि अवलोकनों की संख्या विषम है तो माधिका मध्य संख्या है।
- यदि अवलोकनों की संख्या सम है, तो माधिका दो मध्य संख्याओं का औसत है।
उदाहरण
अध्ययन घंटों के उसी डेटा सेट का उपयोग करते हुए: {5, 7, 8, 4, 10, 6, 7, 9, 3, 5}
चरण 1: डेटा को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें: {3, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10}
चरण 2: चूंकि हमारे पास डेटा बिंदुओं की संख्या (10) सम है, माधिका 5वें और 6वें मूल्यों का औसत है:
माधिका = (6 7) / 2 = 6.5मोड
मोड वह मान होता है जो किसी डेटा सेट में सबसे अधिक बार प्रकट होता है।
उदाहरण
फिर से, हमारे अध्ययन घंटों के डेटा सेट का उपयोग करते हुए: {5, 7, 8, 4, 10, 6, 7, 9, 3, 5}
डेटा को देखते हुए, संख्या 5 और 7 दोनों ही दो बार प्रकट होती हैं। इसलिए, हमारे डेटा सेट में दो मोड हैं: 5 और 7 इस मामले में, डेटा सेट द्विमाध्य है।
विसप्ति के माप
जबकि केंद्रीय प्रवृत्ति के माप डेटा सेट के केंद्र का वर्णन करते हैं, विसप्ति के माप यह वर्णन करते हैं कि डेटा कितना केंद्र से फैला हुआ है। विसप्ति को समझने से यह आकलन करने में मदद मिलती है कि माध्य कितना डेटा का प्रतिनिधित्व करता है।
वर्ग
परास विसप्ति का एक सरल माप है जो डेटा सेट में सबसे उच्चतम और सबसे निम्नतम मूल्यों के बीच का अंतर होता है।
सूত্র
परास = उच्चतम मूल्य - निम्नतम मूल्यउदाहरण
हमारे अध्ययन घंटों के डेटा सेट से: {3, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10}, उच्चतम मूल्य 10 है और निम्नतम मूल्य 3 है।
परास = 10 - 3 = 7विचलन
विचलन मापता है कि संख्या का एक सेट उसकी औसत मान से कितनी दूर किया गया है।
सूत्र
विचलन (σ^2) = (Σ(X - माध्य)^2) / Nजहां Σ योग है, X प्रत्येक डेटा मान है, माध्य अंकगणितीय औसत है, और N डेटा मानों की संख्या है।
उदाहरण
हमारे डेटा सेट का उपयोग करते हुए: {5, 7, 8, 4, 10, 6, 7, 9, 3, 5} जिसमें माध्य 6.4 है:
विचलन = [(5-6.4)^2 (7-6.4)^2 (8-6.4)^2 (4-6.4)^2 (10-6.4)^2 (6-6.4)^2 (7-6.4)^2 (9-6.4)^2 (3-6.4)^2 (5-6.4)^2] / 10 = [1.96 0.36 2.56 5.76 12.96 0.16 0.36 6.76 11.56 1.96] / 10 = 44.8 / 10 = 4.48मानक विचलन
मानक विचलन विचलन का वर्गमूल होता है और औसत से दूरी का माप प्रदान करता है।
सूत्र
मानक विचलन (σ) = √विचलनउदाहरण
हमने जो विचलन गणना की है, उसका उपयोग करते हुए, 4.48:
मानक विचलन = √4.48 ≈ 2.12डेटा प्रदर्शन
डेटा को दृश्य रूप में प्रस्तुत करना जानकारी को स्पष्ट रूप से समझने और संवाद करने में मदद कर सकता है। आइए डेटा के कुछ सामान्य ग्राफिकल प्रदर्शनों की खोज करें।
बार ग्राफ
बार ग्राफ का उपयोग श्रेणीबद्ध डेटा को आयताकार बारों के साथ दर्शाने के लिए किया जाता है, जो विभिन्न श्रेणियों की आवृत्ति को दिखाते हैं।
उदाहरण
मान लीजिए हम छात्रों के पसंदीदा विषयों पर डेटा इकट्ठा करते हैं:
- गणित: 8 छात्र
- विज्ञान: 5 छात्र
- अंग्रेजी: 4 छात्र
हिस्टोग्राम
हिस्टोग्राम बार ग्राफ के समान होते हैं, लेकिन वे सतत डेटा के लिए उपयोग किए जाते हैं। डेटा को अंतरालों में विभाजित किया जाता है, और प्रत्येक अंतराल एक लंबवत बार के समानुपाती होता है।
उदाहरण
हमारे अध्ययन घंटों के डेटा सेट के लिए, हिस्टोग्राम इस प्रकार हो सकता है:
पाई चार्ट
पाई चार्ट यह दर्शाते हैं कि एक संपूर्ण भाग विभिन्न हिस्सों में कैसे विभाजित होता है, इसे टुकड़ों में विभाजित एक गोलाकार ग्राफ में दिखाते हैं।
उदाहरण
विभिन्न खेलों के लिए कक्षा की प्राथमिकताओं का वितरण दिखाने वाला एक पाई चार्ट विचार करें:
- फुटबॉल: 40%
- बास्केटबॉल: 30%
- बेसबॉल: 20%
- अन्य: 10%
निष्कर्ष
सांख्यिकी गणित का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है जो हमें डेटा के माध्यम से दुनिया को विश्लेषण और समझने में सक्षम बनाता है। डेटा को इकट्ठा करने, उसकी केंद्रीय प्रवृत्ति और विसप्ति निर्धारित करने और उसे दृश्य रूप में प्रदर्शित करने की समझ होने से, हम अंतर्दृष्टि प्राप्त कर सकते हैं और सूचित निर्णय ले सकते हैं। चाहे आप एक परीक्षा की तैयारी कर रहे हों या इन कौशलों को दैनिक जीवन में लागू कर रहे हों, सांख्यिकीय सोच जानकारियों का विवेकाधारित दृष्टिकोण विकसित करती है और निष्कर्ष निकालती है।
टिप्पणियाँ