Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Figuras


La estadística es una rama fascinante de las matemáticas que se ocupa de la recopilación, análisis, interpretación, presentación y organización de datos. En matemáticas de grado 11, la estadística juega un papel vital al ayudar a los estudiantes a entender cómo trabajar con datos de manera significativa. En esta guía completa, exploraremos los conceptos básicos de la estadística, incluyendo la recopilación de datos, medidas de tendencia central (como la media, mediana y moda), dispersión de datos (como el rango, varianza y desviación estándar) y representación de datos a través de diferentes tipos de gráficos.

Recopilación de datos

La recopilación de datos es el paso principal en la estadística. Es el proceso en el cual recopilamos información o números de varias fuentes. Los datos se pueden obtener de encuestas, experimentos, observaciones y registros existentes. Esta información recopilada se presenta en una forma que pueda ser analizada para tomar decisiones o hacer predicciones.

Hay dos tipos principales de datos:

  • Datos cualitativos: Este tipo de datos es descriptivo y muestra características o cualidades. Por ejemplo, los colores de los autos en un estacionamiento (rojo, azul, negro).
  • Datos cuantitativos: Este tipo de datos es numérico y mide cantidades. Por ejemplo, la altura de los estudiantes en una clase (150 cm, 160 cm, 175 cm).

Ejemplo de recopilación de datos

Supongamos que queremos recopilar datos sobre cuántas horas los estudiantes de Clase 11 estudian cada semana. Podríamos realizar una encuesta y preguntar a cada estudiante cuántas horas pasan estudiando. Nuestros datos recopilados podrían verse así:

{5, 7, 8, 4, 10, 6, 7, 9, 3, 5}

Medidas de tendencia central

Las medidas de tendencia central son mediciones estadísticas que describen el centro de un conjunto de datos. Proporcionan un único valor que representa el medio de los datos, lo que facilita su comprensión de un vistazo.

Promedio

La media es el promedio aritmético de un conjunto de datos.

Para calcular la media, sumamos todos los números y luego dividimos por la cantidad de números.

Fórmula

Media = (Suma de todos los valores de los datos) / (Número de valores de los datos)

Ejemplo

Considera el conjunto de datos de horas de estudio: {5, 7, 8, 4, 10, 6, 7, 9, 3, 5}
Primero, sumamos todas las horas: 5 + 7 + 8 + 4 + 10 + 6 + 7 + 9 + 3 + 5 = 64.
Luego, dividimos el total por el número de observaciones (10):

Media = 64 / 10 = 6.4

Mediana

La mediana es el valor medio de un conjunto de datos cuando los números están ordenados.

Pasos para encontrar la mediana

  1. Ordena los números en orden ascendente.
  2. Si el número de observaciones es impar, entonces la mediana es el número del medio.
  3. Si el número de observaciones es par, entonces la mediana es el promedio de los dos números del medio.

Ejemplo

Usando el mismo conjunto de datos para las horas de estudio: {5, 7, 8, 4, 10, 6, 7, 9, 3, 5}
Paso 1: Ordena los datos en orden ascendente: {3, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10}
Paso 2: Como tenemos un número par de datos (10), la mediana es el promedio de los valores 5º y 6º:

Mediana = (6 + 7) / 2 = 6.5

Moda

La moda es el valor que aparece con más frecuencia en un conjunto de datos.

Ejemplo

Nuevamente, usando nuestro conjunto de datos de horas de estudio: {5, 7, 8, 4, 10, 6, 7, 9, 3, 5}
Observando los datos, los números 5 y 7 aparecen dos veces cada uno. Por lo tanto, nuestro conjunto de datos tiene dos modas: 5 y 7. En este caso, el conjunto de datos es bimodal.

Medidas de dispersión

Mientras que las medidas de tendencia central describen el centro de un conjunto de datos, las medidas de dispersión describen cuánto se dispersan los datos desde el centro. Comprender la dispersión ayuda a evaluar qué tan bien representa la media los datos.

Rango

El rango es una medida simple de dispersión que es la diferencia entre los valores más altos y más bajos de un conjunto de datos.

Fórmula

Rango = Valor más alto - Valor más bajo

Ejemplo

De nuestro conjunto de datos de horas de estudio: {3, 4, 5, 5, 6, 7, 7, 8, 9, 10}, el valor más alto es 10 y el valor más bajo es 3.

Rango = 10 - 3 = 7

Varianza

La varianza mide cuán dispersos están los números de su valor promedio.

Fórmula

Varianza (σ^2) = (Σ(X - Media)^2) / N

donde Σ es la suma, X es cada valor de los datos, Media es el promedio aritmético, y N es el número de valores de los datos.

Ejemplo

Usando nuestro conjunto de datos: {5, 7, 8, 4, 10, 6, 7, 9, 3, 5} con una media de 6.4:

Varianza = [(5-6.4)^2 + (7-6.4)^2 + (8-6.4)^2 + (4-6.4)^2 + (10-6.4)^2 + (6-6.4)^2 + (7-6.4)^2 + (9-6.4)^2 + (3-6.4)^2 + (5-6.4)^2] / 10 = [1.96 + 0.36 + 2.56 + 5.76 + 12.96 + 0.16 + 0.36 + 6.76 + 11.56 + 1.96] / 10 = 44.8 / 10 = 4.48

Desviación estándar

La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza y proporciona una medida de la distancia promedio desde la media.

Fórmula

Desviación estándar (σ) = √Varianza

Ejemplo

Usando la varianza que calculamos, 4.48:

Desviación estándar = √4.48 ≈ 2.12

Representación de datos

Representar datos visualmente puede ayudar a comprender y comunicar claramente la información. Exploremos algunas representaciones gráficas comunes de datos.

Gráfico de barras

Los gráficos de barras se utilizan para representar datos categóricos con barras rectangulares que muestran la frecuencia de diferentes categorías.

Ejemplo

Supongamos que hemos recopilado datos sobre las materias favoritas de los estudiantes:

  • Matemáticas: 8 estudiantes
  • Ciencia: 5 estudiantes
  • Inglés: 4 estudiantes
Matemáticas Ciencias Inglés 10 8 6

Histograma

Los histogramas son similares a los gráficos de barras, pero se utilizan para datos continuos. Los datos se dividen en intervalos, y cada intervalo corresponde a una barra vertical.

Ejemplo

Para nuestro conjunto de datos de horas de estudio, el histograma podría verse así:

3-5 6-8 9-11

Gráficos circulares

Los gráficos circulares muestran cómo un todo se descompone en partes mediante la representación de datos en un gráfico circular dividido en partes.

Ejemplo

Considera un gráfico circular que muestra la distribución de las preferencias de clase para diferentes deportes:

  • Fútbol: 40%
  • Baloncesto: 30%
  • Béisbol: 20%
  • Otros: 10%
Fútbol Baloncesto Béisbol Otros

Conclusión

La estadística es una parte esencial de las matemáticas que nos permite analizar y comprender el mundo a nuestro alrededor a través de datos. Al entender cómo recopilar datos, determinar su tendencia central y su dispersión, y representarlos visualmente, podemos obtener perspectivas y tomar decisiones informadas. Ya sea que estés preparándote para un examen o aplicando estas habilidades en la vida cotidiana, el pensamiento estadístico desarrolla un enfoque racional para interpretar información y sacar conclusiones.


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