11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

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Medidas de dispersão


Em estatística, as medidas de dispersão são métricas importantes que descrevem a dispersão ou variabilidade dentro de um conjunto de dados. Quando você coleta dados, saber quão dispersos estão os pontos de dados pode fornecer informações valiosas além de conhecer a média ou média. As medidas de dispersão ajudam a entender a distribuição dos dados. Vamos analisar esses conceitos com mais detalhes.

Por que as medidas de dispersão são importantes?

Imagine duas turmas fazendo um teste de matemática. A pontuação média nas duas turmas é 70 de 100. Isso significa que as duas turmas tiveram o mesmo desempenho? Não necessariamente. Apenas conhecer a média oculta a variação nas pontuações. Se uma turma pontua entre 50 e 90 e outra entre 68 e 72, o desempenho é bastante diferente. As medidas de dispersão ajudam a destacar essas diferenças, mostrando quão amplamente as pontuações estão distribuídas.

Tipos de medidas de dispersão

Existem várias medidas principais de dispersão:

  1. Categoria
  2. Intervalo Interquartil (IQR)
  3. Variação
  4. Desvio Padrão

1. Intervalo

O intervalo é a medida mais simples de dispersão. É calculado como a diferença entre os valores máximo e mínimo em um conjunto de dados. Ele informa o alcance de seus dados.

Intervalo = Valor máximo - Valor mínimo

Por exemplo, digamos que temos o seguinte conjunto de dados de pontuações:

Dados: 10, 15, 20, 25, 30

O limite será o seguinte:

Intervalo = 30 - 10 = 20

Embora fácil de calcular, o intervalo apenas considera os extremos dos dados e pode não refletir a verdadeira dispersão se contiver outliers.

2. Intervalo Interquartil (IQR)

O intervalo interquartil (IQR) mede a dispersão entre os dados. É a diferença entre o quartil superior (Q3) e o quartil inferior (Q1). Ele essencialmente mede o intervalo dentro do qual 50% centrais dos dados estão.

IQR = Q3 - Q1

Para calcular o IQR, siga estas etapas:

  • Organize os dados em ordem crescente.
  • Identifique os quartis (Q1 e Q3).
  • Subtraia Q1 de Q3.

Vamos ver um exemplo:

Dados: 4, 8, 15, 16, 23, 42

Primeiro, organize os dados (aqui já estão em ordem). Em seguida, encontre Q1 e Q3:

Q1 (percentil 25) = 8 Q3 (percentil 75) = 23

Em seguida, calcule o IQR:

IQR = Q3 - Q1 = 23 - 8 = 15

Visualizando o IQR

Questão 1 Questão 3 IQR = 15 Min Máximo

3. Variação

A variância mede o desvio médio ao quadrado em relação à média. Ela é útil para entender quanto os pontos de dados diferem do valor médio do conjunto de dados e dá mais ênfase aos outliers devido à classificação.

A fórmula para variância ( sigma^2 ) em uma população é:

sigma^2 = frac{sum (x_i - mu)^2}{N}

Para amostragem usamos:

s^2 = frac{sum (x_i - bar{x})^2}{n - 1}

Onde:

  • ( x_i ) = cada valor
  • ( mu ) = média da população
  • ( bar{x} ) = média da amostra
  • ( N ) = número de valores na população
  • ( n ) = número de valores na amostra

Exemplo usando variância amostral:

Dados: 6, 8, 10, 12, 14

Encontre a média:

bar{x} = frac{6 + 8 + 10 + 12 + 14}{5} = 10

Calcule os desvios ao quadrado da média e encontre a média:

(6 - 10)^2 = 16 (8 - 10)^2 = 4 (10 - 10)^2 = 0 (12 - 10)^2 = 4 (14 - 10)^2 = 16

Desvio Padrão da Amostra:

s^2 = frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{5 - 1} = 10

4. Desvio padrão

O desvio padrão é a raiz quadrada da variância, que fornece uma medida de dispersão nas mesmas unidades dos dados originais, tornando-o mais fácil de entender intuitivamente.

Para a variância que calculamos anteriormente:

s = sqrt{10} = 3.16

O desvio padrão é valioso porque é expresso nas mesmas unidades dos dados, proporcionando um contexto melhor.

Visualizando Variância e Desvio Padrão

Média (6) (8) (10) (12) (14)

Escolhendo a solução certa

Entender cada medida de dispersão ajuda a escolher a medida correta com base no contexto:

  • Intervalo: Verifica rapidamente a extensão, mas é sensível a valores discrepantes.
  • IQR: Melhor para dados inclinados, pois não é afetado por valores discrepantes e se concentra na extensão média.
  • Variância: Mais detalhada, robusta a valores discrepantes devido à classificação, útil para análises detalhadas.
  • Desvio Padrão: Melhor para comparar conjuntos de dados porque compartilha unidades com os pontos de dados.

Exemplo Prático

Considere o exemplo a seguir de dois conjuntos de dados mostrando as milhas percorridas por dois grupos de atletas em uma semana:

Grupo A: 15, 16, 17, 18, 19 Grupo B: 10, 14, 17, 20, 23

A média de ambos os Grupos A e B é 17 milhas. Agora, calcule a medida de dispersão:

  1. Categoria:
    • Grupo A: 19 - 15 = 4
    • Grupo B: 23 - 10 = 13
  2. IQR:
    • Grupo A: O arranjo dos dados permanecerá o mesmo, IQR = 19 - 16 = 3
    • Grupo B: O arranjo dos dados permanecerá o mesmo, IQR = 20 - 14 = 6
  3. Variância:
    • Grupo A: 
      Média = 17
(15 - 17)^2 = 4
(16 - 17)^2 = 1
(17 - 17)^2 = 0
(18 - 17)^2 = 1
(19 - 17)^2 = 4
s^2 = frac{4 + 1 + 0 + 1 + 4}{4} = 2.5
    • Grupo B: 
      Média = 17
(10 - 17)^2 = 49
(14 - 17)^2 = 9
(17 - 17)^2 = 0
(20 - 17)^2 = 9
(23 - 17)^2 = 36
s^2 = frac{49 + 9 + 0 + 9 + 36}{4} = 25.75
  4. Desvio Padrão:
    • Grupo A: ( sqrt{2.5} approx 1.58 )
    • Grupo B: ( sqrt{25.75} approx 5.07 )

Ao comparar essas medições, o grupo B mostra uma maior dispersão do que o grupo A, indicado por um intervalo, IQR, variância e desvio padrão maiores. Embora os dois grupos tenham a mesma média, a variabilidade na distância de corrida deles é significativamente diferente.

Conclusão

As medidas de dispersão incluem uma variedade de ferramentas que fornecem informações sobre a variabilidade dos dados, ajudando você a estimar a confiabilidade e a volatilidade dos pontos de dados em um conjunto. Cada medida tem seus próprios pontos fortes e fracos, dependendo da natureza e contexto dos dados que você está analisando, permitindo que você aborde a análise de dados de uma perspectiva mais ampla.

Compreender e usar medidas de dispersão permite que você descreva melhor os conjuntos de dados, o que, por sua vez, leva a uma tomada de decisão mais informada em cenários do mundo real, pesquisa científica, economia e muitos outros campos. Ao dominar esses conceitos, você desenvolve uma base sólida em estatística que aprimora sua capacidade de analisar e interpretar dados de forma eficaz.


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