विसरण के माप

सांख्यिकी में, विसरण के माप महत्वपूर्ण मेट्रिक्स हैं जो डेटा के सेट के भीतर विसरण या परिवर्तनशीलता का वर्णन करते हैं। जब आप डेटा एकत्र करते हैं, तो औसत या माध्य जानने के अलावा यह जानना कि डेटा बिंदु कितनी दूर फैले हुए हैं, मूल्यवान अंतर्दृष्टि प्रदान कर सकता है। विसरण के माप आपको डेटा के वितरण को समझने में मदद करते हैं। आइए इन अवधारणाओं को अधिक विस्तार से देखें।

विसरण के माप क्यों महत्वपूर्ण हैं?

कल्पना कीजिए कि दो कक्षाएँ गणित की परीक्षा देती हैं। दोनों कक्षाओं में औसत स्कोर 100 में से 70 है। क्या इसका मतलब यह है कि दोनों कक्षाओं ने समान प्रदर्शन किया? जरूरी नहीं। सिर्फ औसत जानने से स्कोर में भिन्नता छिप जाती है। यदि एक कक्षा 50 से 90 के बीच अंक प्राप्त करती है और दूसरी 68 से 72 के बीच, तो प्रदर्शन काफी भिन्न है। विसरण के माप इन अंतर को उजागर करने में मदद करते हैं, यह दिखाकर कि स्कोर कितनी दूर तक फैले हुए हैं।

विसरण के माप के प्रकार

विसरण के कई प्रमुख माप हैं:

1. श्रेणी
2. इंटरक्वारटाइल रेंज (IQR)
3. असहमति
4. मानक विचलन

1. श्रेणी

श्रेणी विसरण का सबसे सरल माप है। इसे डेटा सेट में अधिकतम और न्यूनतम मूल्यों के बीच का अंतर मानकर गणना की जाती है। यह आपको आपके डेटा के विस्तार को बताता है।

श्रेणी = अधिकतम मूल्य - न्यूनतम मूल्य

उदाहरण के लिए, मान लीजिए हमारे पास स्कोर का निम्नलिखित डेटा सेट है:

डेटा: 10, 15, 20, 25, 30

सीमा निम्नलिखित होगी:

श्रेणी = 30 - 10 = 20

हालांकि गणना करने में आसान है, सीमा केवल डेटा के चरम को ध्यान में रखती है और यदि इसमें बाहरी मूल्य शामिल हैं तो यह सही विसरण को नहीं दर्शा सकता है।

2. इंटरक्वारटाइल रेंज (IQR)

इंटरक्वारटाइल रेंज (IQR) डेटा के बीच का प्रसार मापता है। यह ऊपरी क्वारटाइल (Q3) और निचले क्वारटाइल (Q1) के बीच का अंतर होता है। यह मूलत: मापता है कि डेटा का केंद्रीय 50% किस सीमा के भीतर है।

IQR = Q3 - Q1

IQR की गणना के लिए इन चरणों का पालन करें:

• डेटा को आरोही क्रम में व्यवस्थित करें।
• क्वारटाइल्स (Q1 और Q3) की पहचान करें।
• Q1 को Q3 से घटाएँ।

उदाहरण देखें:

डेटा: 4, 8, 15, 16, 23, 42

पहले, डेटा को व्यवस्थित करें (यह पहले से ही क्रम में है)। फिर, Q1 और Q3 खोजें:

Q1 (25वाँ प्रतिशतक) = 8 Q3 (75वाँ प्रतिशतक) = 23

फिर IQR की गणना करें:

IQR = Q3 - Q1 = 23 - 8 = 15

IQR का विज़ुअलाइज़ेशन करना

3. विविधता

वैरिएंस औसत से डिवीएशन के औसत वर्गित करता है। यह समझने में सहायक होता है कि डेटा बिंदु औसत मान से कितने अलग होते हैं, और अन्यांक लोगों को वर्गीकृत करने के लिए अधिक ध्यान केंद्रित करता है।

जनसंख्या में वैरिएंस के लिए सूत्र ( sigma^2 ) है:

sigma^2 = frac{sum (x_i - mu)^2}{N}

नमूनों के लिए हम उपयोग करते हैं:

s^2 = frac{sum (x_i - bar{x})^2}{n - 1}

जहाँ:

• ( x_i ) = प्रत्येक मूल्य
• ( mu ) = जनसंख्या का माध्य
• ( bar{x} ) = नमूने का माध्य
• ( N ) = जनसंख्या में मूल्यों की संख्या
• ( n ) = नमूने में मूल्यों की संख्या

उदाहरण नमूनान विविधता का उपयोग करके:

डेटा: 6, 8, 10, 12, 14

माध्य निकालें:

bar{x} = frac{6 + 8 + 10 + 12 + 14}{5} = 10

डिवीएशन का वर्ग निकालें और औसत प्राप्त करें:

(6 - 10)^2 = 16 (8 - 10)^2 = 4 (10 - 10)^2 = 0 (12 - 10)^2 = 4 (14 - 10)^2 = 16

नमूना का मानक विचलन:

s^2 = frac{16 + 4 + 0 + 4 + 16}{5 - 1} = 10

4. मानक विचलन

मानक विचलन वैरिएंस का वर्गमूल है, जो उसी इकाइयों में विसरण का माप प्रदान करता है जैसा कि मूल डेटा होता है, जिससे इसे सहज रूप से समझना आसान हो जाता है।

हमने पहले वैरिएंस की गणना की थी:

s = sqrt{10} = 3.16

मानक विचलन मूल्यवान होता है क्योंकि यह डेटा के समान इकाइयों में व्यक्त होता है, जिससे यह एक बेहतर संदर्भ प्रदान करता है।

वैरिएंस और मानक विचलन का विज़ुअलाइज़ेशन करना

सही समाधान चुनना

प्रत्येक विसरण माप को समझने से आपको संदर्भ के आधार पर सही माप चुनने में मदद मिलती है:

• श्रेणी: चेक करता है कि फैलाव जल्दी से होता है, लेकिन बाहरी मूल्यों के प्रति संवेदनशील होता है।
• IQR: खिचा हुआ डेटा के लिए बेहतर होता है क्योंकि यह बाहरी मूल्यों से प्रभावित नहीं होता है, और मध्य की सीमा पर केंद्रित होता है।
• वैरिएंस: अधिक विस्तृत, बाहरी मूल्यों के प्रति संवेदनशील होता है वर्गीकरण के कारण, गहरी विश्लेषण हेतु उपयोगी होता है।
• मानक विचलन: डेटा सेट्स की तुलना के लिए सबसे अच्छा होता है क्योंकि यह डेटा बिंदुओं के साथ इकाइयां साझा करता है।

व्यावहारिक उदाहरण

आइए सप्ताहभर में दो एथलीट समूहों द्वारा दौड़े गए मील के दो डेटा सेटों का उदाहरण देखें:

समूह A: 15, 16, 17, 18, 19 समूह B: 10, 14, 17, 20, 23

समूह A और समूह B दोनों का औसत 17 मील है। अब, विसरण के माप की गणना करें:

1. श्रेणी:
   • समूह A: 19 - 15 = 4
   • समूह B: 23 - 10 = 13
2. IQR:
   • समूह A: डेटा का क्रम बना रहेगा, IQR = 19 - 16 = 3
   • समूह B: डेटा का क्रम बना रहेगा, IQR = 20 - 14 = 6
3. वैरिएंस:
   • समूह A:

     माध्य = 17
     (15 - 17)^2 = 4
     (16 - 17)^2 = 1
     (17 - 17)^2 = 0
     (18 - 17)^2 = 1
     (19 - 17)^2 = 4
     s^2 = frac{4 + 1 + 0 + 1 + 4}{4} = 2.5

   • समूह B:

     माध्य = 17
     (10 - 17)^2 = 49
     (14 - 17)^2 = 9
     (17 - 17)^2 = 0
     (20 - 17)^2 = 9
     (23 - 17)^2 = 36
     s^2 = frac{49 + 9 + 0 + 9 + 36}{4} = 25.75

4. मानक विचलन:
   • समूह A: ( sqrt{2.5} approx 1.58 )
   • समूह B: ( sqrt{25.75} approx 5.07 )

इन मापों की तुलना करने पर, समूह B समूह A की तुलना में अधिक विसरण दिखाता है, जो कि अधिक श्रेणी, IQR, वैरिएंस, और मानक विचलन द्वारा दर्शाया गया है। यद्यपि दोनों समूहों का माध्य समान है, उनके दौड़ने की दूरी में विविधता अत्यंत भिन्न है।

निष्कर्ष

विसरण के माप में विभिन्न उपकरण शामिल होते हैं जो डेटा के परिवर्तनशीलता के बारे में जानकारी प्रदान करते हैं, जिससे आप एक सेट में डेटा बिंदुओं की विश्वसनीयता और अस्थिरता अनुमानित कर सकते हैं। प्रत्येक माप का अपना ताकत और कमजोरी होती है, जिसके आधार पर आप डेटा के प्रकृति और संदर्भ को ध्यान में रखते हुए, डेटा विश्लेषण के लिए विभिन्न दृष्टिकोणों से अन्वेषण कर सकते हैं।

विसरण के मापों को समझने और उपयोग करने से आपको डेटा सेटों का अधिक पूरी तरह वर्णन करने में मदद मिलती है, जो वास्तविक दुनिया की स्थितियों, वैज्ञानिक शोध, अर्थशास्त्र और कई अन्य क्षेत्रों में बेहतर-सूचित निर्णय लॉन्च करने में मददगार होता है। इन अवधारणाओं को अच्छे से जानने के बाद, आप सांख्यिकी के लिए एक मजबूत नींव विकसित करते हैं जो आपके डेटा का अधिक प्रभावी ढंग से विश्लेषण और व्याख्या करने की क्षमता बढ़ाता है।

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