Класс 11
  1. Алгебра  1.1. Понимание последовательностей и рядов в алгебре  1.1.1. Понимание арифметических последовательностей  1.1.2. Арифметические прогрессии  1.1.3. Понимание геометрических последовательностей  1.1.4. Понимание геометрических рядов  1.1.5. Сходимость и расходимость  1.1.6. Понимание "суммы до бесконечности" в алгебре  1.1.7. Обозначение Сигма  1.2. Комплексные числа  1.2.1. Понимание мнимых и комплексных чисел  1.2.2. Операции с комплексными числами  1.2.3. Полярная и декартова формы комплексных чисел  1.2.4. Комплексные сопряженные  1.2.5. Модуль и аргумент  1.2.6. Теорема Муавра  1.2.7. Степени и корни комплексных чисел  1.3. Бином Ньютона  1.3.1. Расширение бинома  1.3.2. Общие термины в биномиальной теореме  1.3.3. Биномиальный коэффициент  1.3.4. Применения биномиальной теоремы  1.3.5. Треугольник Паскаля
  2. Функции и графики  2.1. Типы задач  2.1.1. Полиномиальная функция  2.1.2. Рациональные функции  2.1.3. Экспоненциальная функция  2.1.4. Логарифмическая функция  2.1.5. Тригонометрические функции  2.1.6. Поштучная работа  2.2. Преобразование функций  2.2.1. Перевод  2.2.2. Понимание отражений в преобразованиях функций  2.2.3. Растяжение и растяжение  2.2.4. Понимание вращения в функциях и графиках  2.3. Обратная функция  2.3.1. Нахождение обратной функции  2.3.2. Графики обратных функций  2.3.3. Свойства обратных функций  2.3.4. Ограничения для обратных функций
  3. Тригонометрия  3.1. Тригонометрические отношения и идентичности  3.1.1. Основные тригонометрические отношения  3.1.2. Понимание пифагорейских тождеств в тригонометрии  3.1.3. Формулы суммы и разности углов  3.1.4. Формула двойного угла  3.1.5. Понимание формул половинного угла в тригонометрии  3.1.6. Формулы произведения к сумме и суммы к произведению  3.2. Тригонометрические уравнения  3.2.1. Решение тригонометрических уравнений  3.2.2. Общие решения в тригонометрических уравнениях  3.3. Графики тригонометрических функций  3.3.1. График синуса  3.3.2. Понимание графика косинуса  3.3.3. График тангенса  3.3.4. Регулировка амплитуды и длительности  3.3.5. Фазовое изменение на графике тригонометрических функций  3.4. Применение тригонометрии  3.4.1. Законы синусов и косинусов  3.4.2. Площадь треугольников  3.4.3. Решение треугольников  3.4.4. Подшипники и навигация
  4. Введение в математический анализ  4.1. Понимание пределов и непрерывности в математическом анализе  4.1.1. Понятие предела  4.1.2. Односторонние пределы  4.1.3. Понимание пределов на бесконечности в математическом анализе  4.1.4. Непрерывность функции  4.1.5. Типы разрывов  4.2. Дискриминация  4.2.1. Определение производной  4.2.2. Правила дифференцирования  4.2.3. Производные высшего порядка  4.2.4. Правило цепи  4.2.5. Правило произведения  4.2.6. Понимание правила частного в математическом анализе  4.3. Применение дифференцирования  4.3.1. Скорость изменения  4.3.2. Касательная и нормаль  4.3.3. Максимум и минимум  4.3.4. Понимание возрастающих и убывающих функций  4.3.5. Задачи оптимизации  4.3.6. График кривой  4.3.7. Связанные скорости в применениях дифференцирования  4.4. Что такое интеграция?  4.4.1. Первообразные  4.4.2. Неопределенный интеграл  4.4.3. Определенный интеграл  4.4.4. Основная теорема анализа  4.4.5. Техники интеграции  4.4.6. Понимание площади под кривой в интегрировании  4.5. Применения интегрирования  4.5.1. Площадь между кривыми  4.5.2. Объемы тел вращения  4.5.3. Понимание среднего значения функции в математическом анализе
  5. Векторы и матрицы  5.1. Векторы  5.1.1. Введение  5.1.2. Операции с векторами  5.1.3. Понимание скалярного произведения  5.1.4. Векторное произведение  5.1.5. Применение в геометрии  5.1.6. Проекция векторов  5.2. Матрицы  5.2.1. Типы матриц  5.2.2. Понимание операций с матрицами  5.2.3. Определители  5.2.4. Обратная матрица  5.2.5. Решение систем линейных уравнений  5.2.6. Правило Крамера
  6. Вероятность и статистика  6.1. Понимание вероятности в математике  6.1.1. Основные понятия вероятности  6.1.2. Условная вероятность  6.1.3. Введение в независимые и зависимые события в теории вероятностей  6.1.4. Теорема Байеса  6.1.5. Комбинаторная вероятность  6.2. Случайные величины  6.2.1. Дискретная случайная величина  6.2.2. Непрерывная случайная величина  6.2.3. Распределения вероятностей  6.3. Распределения вероятностей  6.3.1. Понимание биномиального распределения  6.3.2. Нормальное распределение  6.3.3. Распределение Пуассона  6.3.4. Равномерное распределение  6.4. Фигуры  6.4.1. Меры центральной тенденции  6.4.2. Меры разброса  6.4.3. Сбор и представление данных  6.4.4. Корреляция и Регрессия  6.4.5. Техники выборки
  7. Координатная геометрия  7.1. Прямые линии в координатной геометрии  7.1.1. Форма наклона и пересечения в координатной геометрии  7.1.2. Формула расстояния в прямых линиях  7.1.3. Понимание формулы средней точки в координатной геометрии  7.1.4. Угол между линиями  7.1.5. Уравнение прямых  7.2. Конические сечения  7.2.1. Круг  7.2.2. Введение в параболы  7.2.3. Эллипс в коническом сечении  7.2.4. Понимание гиперболы в конических сечениях  7.2.5. Свойства конических сечений  7.2.6. Параметрические уравнения конусов  7.2.7. Полярные координаты коник
  8. Арифметическая логика  8.1. Введение в логику в математической логике  8.1.1. Утверждения и логические связки  8.1.2. Таблицы истинности  8.1.3. Логическое равенство  8.1.4. Кванторы в логике и математической логике  8.1.5. Методы доказательств  8.2. Понимание доказательств в математической логике  8.2.1. Прямое доказательство  8.2.2. Косвенные доказательства  8.2.3. Понимание доказательства от противного  8.2.4. Доказательство по математической индукции

Класс 11 → Вероятность и статистика ↓


Распределения вероятностей


Распределения вероятностей играют важную роль в области статистики и теории вероятностей. Они помогают нам понимать и предсказывать вероятность различных исходов. В этом руководстве мы рассмотрим, что такое распределения вероятностей, как они используются, и рассмотрим несколько распространенных примеров, все в простых терминах, чтобы каждый мог понять.

Что такое распределение вероятностей?

Распределения вероятностей показывают, как вероятности распределены по различным возможным исходам. Представьте, что у вас есть обычный честный кубик. Распределение вероятностей для броска этого кубика будет назначать вероятность каждому числу от 1 до 6. Поскольку это честный кубик, каждое из этих чисел имеет равную вероятность быть выброшенным, а именно 1/6.

Математически распределение вероятностей - это функция, которая предоставляет вероятности возникновения различных возможных исходов в эксперименте. Простой способ представить распределение вероятностей - воспользоваться таблицей или графиком.

1. Дискретное распределение вероятностей

Дискретные распределения вероятностей применяются в случаях, когда набор возможных исходов является дискретным (отдельным и изолированным), например, как бросок кубика или подбрасывание монеты.

Пример: Бросок кубика

Рассмотрим честный шестигранный кубик. Распределение вероятностей может быть представлено следующим образом:

Результат (X) Вероятность P(X)
1 1/6
2 1/6
3 1/6
4 1/6
5 1/6
6 1/6

Эта таблица точно отражает дискретное распределение вероятности для одного броска честного шестигранного кубика.

00.51.012345

График выше наглядно показывает это распределение, где высота каждого столбца соответствует вероятности соответствующего исхода.

2. Непрерывные распределения вероятностей

Непрерывное распределение вероятностей, с другой стороны, относится к распределению, в котором исходы могут принимать любое значение в определенном диапазоне. В отличие от дискретного распределения, вероятности в непрерывном распределении связаны с диапазонами исходов, а не с отдельными значениями.

Пример: Рост студентов

Например, рост студентов в классе можно моделировать с использованием непрерывного распределения вероятностей, поскольку рост может варьироваться в пределах диапазона и не ограничен набором дискретных значений.

Очень распространенным типом непрерывного распределения является нормальное распределение, часто называемое колоколообразной кривой из-за его формы:

0Рост

На приведенной выше кривой показано нормальное распределение для роста студентов, где большинство значений роста близки к среднему, а менее распространенные значения роста находятся на крайностях.

Математическое представление распределений

Математическое представление распределения вероятностей зависит от того, является ли оно дискретным или непрерывным. Вот как они могут быть представлены:

Дискретное распределение

Для дискретных распределений обычно используются функции массы вероятности (PMF). Эти функции дают вероятность того, что дискретная случайная величина равна определенному значению.

P(X = x) = f(x)

Здесь f(x) представляет вероятность того, что случайная величина X принимает значение x .

Непрерывное распределение

Непрерывные распределения используют функции плотности вероятности (PDF), которые описывают вероятность того, что случайная величина принимает заданное значение. В отличие от дискретного случая, здесь вероятности определяются интеграцией по интервалу.

P(a ≤ X ≤ b) = int_{a}^{b} f(x) ,dx

Этот интеграл дает вероятность того, что непрерывная случайная величина X попадает в диапазон a до b .

Нормальное распределение вероятностей

Существует несколько важных распределений вероятностей, которые часто встречаются в реальных приложениях:

1. Биномиальное распределение

Биномиальное распределение - это дискретное распределение. Оно представляет количество успехов в последовательности из n независимых экспериментов "да/нет", каждый из которых дает успех с вероятностью p .

Пример: Если вы подбрасываете честную монету 3 раза, распределение количества выпавших орлов (успехов) является биномиальным распределением, где n = 3 и p = 0.5 .

2. Нормальное распределение

Нормальное распределение - это непрерывное распределение и, возможно, самое важное распределение в статистике. Оно симметрично и описывает подавляющее большинство естественно встречающихся событий. Нормально распределенные события имеют среднее значение μ и дисперсию σ^2 .

3. Распределение Пуассона

Это дискретное распределение, которое выражает вероятность определенного количества событий, происходящих в определенном интервале времени или пространства. Подходящие условия для распределения Пуассона включают постоянную среднюю скорость и независимость между событиями.

Свойства распределений вероятностей

При работе с распределениями вероятностей важно учитывать несколько свойств:

  • Сумма вероятностей: Для дискретного распределения сумма вероятностей всех возможных исходов должна быть равна 1. В непрерывном распределении площадь под всей кривой плотности вероятности должна быть равна 1.
  • Среднее или ожидание: Ожидаемое значение - это среднее значение случайной величины по бесконечному числу испытаний.
  • Дисперсия: Дисперсия показывает разброс возможных значений случайной величины.

Заключение

Распределения вероятностей предоставляют полное представление о том, как вероятности распределяются по различным возможным исходам. Понимание этих распределений является основополагающим для понимания данных, на которых построены основы статистического анализа и выводов. Независимо от того, бросаете ли вы кубики, измеряете рост студентов или рассматриваете более сложные явления, распределения вероятностей предоставляют нам инструменты, необходимые для оценки и понимания скрытой случайности мира вокруг нас.


Класс 11 → 6.3


U
username
0%
завершено в Класс 11

← предыдущая (6.2.3)
Распределения вероятностей
следующая (6.3.1) →
Понимание биномиального распределения

комментарии 



Распределения вероятностей

https://www.buddymath.com/g11/6.3?bmal=ru