Distribuições de probabilidade

As distribuições de probabilidade desempenham um papel importante no campo da estatística e da probabilidade. Elas nos ajudam a entender e prever a probabilidade de diferentes resultados. Neste guia, iremos explorar o que são distribuições de probabilidade, como elas são usadas e observar alguns exemplos comuns, todos em termos simples para que todos possam entender.

O que é uma distribuição de probabilidade?

As distribuições de probabilidade mostram como as probabilidades são distribuídas sobre diferentes resultados possíveis. Imagine que você tem um dado normal justo. A distribuição de probabilidade de rolar esse dado atribuirá uma probabilidade a cada número de 1 a 6. Como este é um dado justo, cada um desses números tem uma probabilidade igual de ser rolado, especificamente 1/6.

Matematicamente, uma distribuição de probabilidade é uma função que fornece as probabilidades de ocorrência de diferentes resultados possíveis em um experimento. Uma maneira simples de representar uma distribuição de probabilidade é usar uma tabela ou gráfico.

1. Distribuição de probabilidade discreta

As distribuições de probabilidade discreta se aplicam em casos onde o conjunto de resultados possíveis é discreto (distintos e isolados), como o lançamento de um dado ou uma moeda.

Exemplo: Jogando um dado

Considere um dado justo de seis lados. A distribuição de probabilidade pode ser representada da seguinte forma:

Resultado (X)	A probabilidade P(X)
1	1/6
2	1/6
3	1/6
4	1/6
5	1/6
6	1/6

Esta tabela reflete com precisão a distribuição de probabilidade discreta para um único lançamento de um dado justo de seis lados.

O gráfico acima ilustra visualmente esta distribuição, onde a altura de cada barra corresponde à probabilidade do resultado correspondente.

2. Distribuições de probabilidade contínuas

Uma distribuição de probabilidade contínua, por outro lado, refere-se a uma distribuição em que os resultados podem assumir qualquer valor dentro de um determinado intervalo. Ao contrário de uma distribuição discreta, as probabilidades em uma distribuição contínua estão associadas a intervalos de resultados em vez de valores individuais.

Exemplo: Altura dos alunos

Por exemplo, as alturas dos alunos em uma classe podem ser modeladas usando uma distribuição de probabilidade contínua, uma vez que as alturas podem variar dentro de um intervalo e não estão restritas a um conjunto de valores discretos.

Um tipo muito comum de distribuição contínua é a distribuição normal, frequentemente referida como curva em sino devido à sua forma:

A curva acima mostra uma distribuição normal para as alturas dos alunos, com a maioria das alturas próximas à média e alturas menos comuns nas extremidades.

Representação matemática da distribuição

A representação matemática de uma distribuição de probabilidade depende de ser discreta ou contínua. É assim que elas podem ser tratadas:

Distribuição discreta

Para distribuições discretas, normalmente usamos funções de massa de probabilidade (PMF). Essas funções dão a probabilidade de que uma variável aleatória discreta seja exatamente igual a algum valor.

P(X = x) = f(x)

Aqui, f(x) representa a probabilidade da variável aleatória X assumir o valor x.

Distribuição contínua

Distribuições contínuas usam funções de densidade de probabilidade (PDFs), que descrevem a probabilidade de uma variável aleatória assumir um determinado valor. Ao contrário do caso discreto, aqui as probabilidades são determinadas pela integração sobre um intervalo.

P(a ≤ X ≤ b) = int_{a}^{b} f(x) ,dx

Esta integral fornece a probabilidade de que a variável aleatória contínua X caia no intervalo a a b.

Distribuição de probabilidade normal

Existem várias distribuições de probabilidade importantes que aparecem frequentemente em aplicações da vida real:

1. Distribuição binomial

A distribuição binomial é uma distribuição discreta. Ela representa o número de sucessos em uma sequência de n experimentos independentes de sim/não, cada um dos quais dando um sucesso com probabilidade p.

Exemplo: Se você lançar uma moeda justa 3 vezes, a distribuição do número de caras (sucessos) que você obtém é uma distribuição binomial onde n = 3 e p = 0.5.

2. Distribuição normal

A distribuição normal é uma distribuição contínua e talvez a distribuição mais importante na estatística. Ela é simétrica e descreve a vasta maioria dos eventos que ocorrem naturalmente. Eventos normalmente distribuídos têm média μ e variância σ^2.

3. Distribuição de Poisson

Uma distribuição discreta que expressa a probabilidade de um certo número de eventos ocorrerem em um determinado intervalo de tempo ou espaço. Condições adequadas para a distribuição de Poisson incluem uma taxa média constante e independência entre eventos.

Propriedades das distribuições de probabilidade

Ao trabalhar com distribuições de probabilidade, várias propriedades são essenciais:

• Soma das probabilidades: Para uma distribuição discreta, a soma das probabilidades de todos os resultados possíveis deve ser 1. Em uma distribuição contínua, a área sob toda a curva de densidade de probabilidade deve ser 1.
• Média ou expectativa: O valor esperado é o valor médio da variável aleatória em um número infinito de tentativas.
• Variância: A variância fornece a dispersão dos possíveis valores da variável aleatória.

Conclusão

As distribuições de probabilidade fornecem uma imagem abrangente de como as probabilidades são alocadas entre diferentes resultados possíveis. Entender essas distribuições é fundamental para entender os dados sob os quais se constrói a base da análise estatística e inferências. Seja jogando dados, medindo as alturas dos alunos ou examinando fenômenos mais complexos, as distribuições de probabilidade nos fornecem as ferramentas necessárias para avaliar e compreender a aleatoriedade subjacente ao mundo ao nosso redor.

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