प्रायिकता वितरण

प्रायिकता वितरण सांख्यिकी और प्रायिकता के क्षेत्र में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। वे हमें विभिन्न संभावित परिणामों की संभावना को समझने और भविष्यवाणी करने में मदद करते हैं। इस मार्गदर्शिका में, हम यह जानेंगे कि प्रायिकता वितरण क्या होते हैं, उनका उपयोग कैसे किया जाता है, और कुछ सामान्य उदाहरण देखेंगे, वह भी सरल शब्दों में ताकि हर कोई समझ सके।

प्रायिकता वितरण क्या है?

प्रायिकता वितरण दिखाते हैं कि विभिन्न संभावित परिणामों पर प्रायिकताएँ कैसे वितरित होती हैं। कल्पना करें कि आपके पास एक साधारण निष्पक्ष पासा है। इस पासा को फेंकने के प्रायिकता वितरण से प्रत्येक संख्या 1 से 6 तक को एक प्रायिकता प्राप्त होगी। चूंकि यह एक निष्पक्ष पासा है, इन सभी संख्याओं के फेंके जाने की संभावना समान है, विशेष रूप से 1/6।

गणितीय रूप से, प्रायिकता वितरण एक प्रकार की फ़ंक्शन है जो किसी प्रयोग में विभिन्न संभावित परिणामों के होने की प्रायिकताओं को प्रदान करती है। प्रायिकता वितरण को प्रदर्शित करने का एक सरल तरीका है एक तालिका या ग्राफ का उपयोग करना।

1. विविक्त प्रायिकता वितरण

विविक्त प्रायिकता वितरण उन मामलों में लागू होते हैं जहां संभावित परिणामों का सेट विविक्त होता है (अलग-अलग और पृथक), जैसे कि पासा फेंकना या सिक्का उछालना।

उदाहरण: पासा फेंकना

एक निष्पक्ष छह तरफ़ी पासा की मान लें। प्रायिकता वितरण को निम्नलिखित रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है:

परिणाम (X)	प्रायिकता P(X)
1	1/6
2	1/6
3	1/6
4	1/6
5	1/6
6	1/6

यह तालिका एक निष्पक्ष छह तरफ़ी पासा की एकल फेंकने के लिए विविक्त प्रायिकता वितरण को सही तरीके से दर्शाती है।

उपरोक्त ग्राफ़ इस वितरण को दृश्य रूप से दर्शाता है, जहां प्रत्येक बार की ऊँचाई संबंधित परिणाम की प्रायिकता के अनुरूप है।

2. सतत प्रायिकता वितरण

एक सतत प्रायिकता वितरण, दूसरी ओर, एक वितरण को संदर्भित करता है जिसमें परिणाम किसी सीमा के भीतर कोई भी मूल्य ले सकते हैं। एक विविक्त वितरण के विपरीत, एक सतत वितरण में प्रायिकताएँ किसी भी व्यक्तिगत मूल्यों की बजाय परिणामों की सीमाओं से जुड़ी होती हैं।

उदाहरण: छात्रों की ऊँचाई

उदाहरण के लिए, एक कक्षा के छात्रों की ऊँचाई को एक सतत प्रायिकता वितरण का उपयोग करके मॉडल किया जा सकता है, क्योंकि ऊँचाई एक सीमा के भीतर भिन्न हो सकती है और विविक्त मूल्यों के एक सेट तक सीमित नहीं होती।

एक बहुत ही सामान्य प्रकार का सतत वितरण सामान्य वितरण है, जिसे अक्सर बेल कर्व कहा जाता है क्योंकि इसका आकार:

ऊपर दिखाया गया कर्व छात्रों की ऊँचाई के लिए एक सामान्य वितरण दर्शाता है, जिसमें अधिकांश ऊँचाईयां औसत के करीब होती हैं और चरम सीमाओं पर कम सामान्य ऊँचाईयां होती हैं।

वितरण का गणितीय निरूपण

प्रायिकता वितरण का गणितीय निरूपण इस पर निर्भर करता है कि यह विविक्त है या सतत। यहाँ बताया गया है कि उन्हें कैसे संभाला जा सकता है:

विविक्त वितरण

विविक्त वितरणों के लिए, हम अक्सर प्रायिकता द्रव्यमान फलन (PMF) का उपयोग करते हैं। ये फलन इस संभावना को देते हैं कि एक विविक्त रैंडम वेरिएबल किसी मूल्य के ठीक बराबर है।

P(X = x) = f(x)

यहां, f(x) रैंडम वेरिएबल X के मूल्य x को लेने की प्रायिकता को दर्शाता है।

सतत वितरण

सतत वितरण प्रायिकता घनत्व फलनों (PDFs) का उपयोग करते हैं, जो एक निर्धारित मूल्य को लेने वाले अनुक्रमिक चर की संभावना का वर्णन करते हैं। विविक्त मामलों के विपरीत, यहां प्रायिकताएँ एक अंतराल पर अभिन्न द्वारा निर्धारित की जाती हैं।

P(a ≤ X ≤ b) = int_{a}^{b} f(x) ,dx

यह अभिन्न इस बात की संभावना देता है कि सतत रैंडम वेरिएबल X सीमा a से b के बीच आता है।

सामान्य प्रायिकता वितरण

कई महत्वपूर्ण प्रायिकता वितरण हैं जो वास्तविक जीवन अनुप्रयोगों में अक्सर दिखाई देते हैं:

1. द्विपद वितरण

द्विपद वितरण एक विविक्त वितरण है। यह n स्वतंत्र हाँ/ना प्रयोगों की एक श्रृंखला में सफलताओं की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, जिनमें से प्रत्येक सफलता के साथ p की संभावना के साथ होता है।

उदाहरण: यदि आप एक निष्पक्ष सिक्का 3 बार उछालते हैं, तो आपको मिलने वाले सिर (सफलताओं) की संख्या का वितरण एक द्विपद वितरण है जहां n = 3 और p = 0.5 है।

2. सामान्य वितरण

सामान्य वितरण एक सतत वितरण है और सांख्यिकी में संभवतः सबसे महत्वपूर्ण वितरण है। यह सममित है और सामान्यतया उत्पन्न होने वाली घटनाओं का वर्णन करता है। सामान्यतः वितरित घटनाओं का औसत μ और विचरण σ^2 होता है।

3. पोइसन वितरण

एक विविक्त वितरण जो एक निश्चित समय या स्थान के अंतराल में होने वाली निर्दिष्ट संख्या में घटनाओं की संभावना व्यक्त करता है। पोइसन वितरण के लिए उपयुक्त स्थितियों में एक स्थिर औसत दर और घटनाओं के बीच स्वतंत्रता शामिल होती है।

प्रायिकता वितरण की विशेषताएँ

प्रायिकता वितरण पर काम करते समय, कई विशेषताएँ आवश्यक होती हैं:

• प्रायिकताओं का योग: एक विविक्त वितरण के लिए, सभी संभावित परिणामों की प्रायिकताओं का योग 1 होना चाहिए। एक सतत वितरण में, पूरी प्रायिकता घनत्व कर्व के नीचे का क्षेत्रफल 1 होना चाहिए।
• माध्य या अपेक्षा: अपेक्षित मूल्य असीमित परीक्षणों के दौरान अनुक्रमिक चर का औसत मूल्य होता है।
• विचलन: विचलन संभव मूल्यों के प्रसार को प्रदान करता है अनुक्रमिक चर के।

निष्कर्ष

प्रायिकता वितरण विभिन्न संभावित परिणामों के बीच प्रायिकताओं को आवंटित करने का एक संपूर्ण चित्र प्रदान करते हैं। इन वितरणों को समझना उन डेटा को समझने के लिए मौलिक है जिन पर सांख्यिकीय विश्लेषण और अनुमानों की नींव तैयार होती है। चाहे आप पासा फेंक रहे हों, छात्रों की ऊँचाई माप रहे हों, या अधिक जटिल घटनाओं को देख रहे हों, प्रायिकता वितरण हमें उन उपकरणों को प्रदान करते हैं जिनकी आवश्यकता हमें दुनिया के चारों ओर के अंतर्निहित रैंडमनेस का आकलन और समझने के लिए होती है।

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