Distribuciones de probabilidad

Las distribuciones de probabilidad juegan un papel importante en el campo de la estadística y la probabilidad. Nos ayudan a entender y predecir la probabilidad de diferentes resultados. En esta guía, exploraremos qué son las distribuciones de probabilidad, cómo se utilizan y veremos algunos ejemplos comunes, todo en términos simples para que todos puedan entenderlo.

¿Qué es una distribución de probabilidad?

Las distribuciones de probabilidad muestran cómo se distribuyen las probabilidades sobre diferentes resultados posibles. Imagina que tienes un dado justo normal. La distribución de probabilidad al lanzar este dado asignará una probabilidad a cada número del 1 al 6. Dado que este es un dado justo, cada uno de estos números tiene la misma probabilidad de salir, específicamente 1/6.

Matemáticamente, una distribución de probabilidad es una función que proporciona las probabilidades de ocurrencia de diferentes resultados posibles en un experimento. Una forma simple de representar una distribución de probabilidad es usar una tabla o un gráfico.

1. Distribución de probabilidad discreta

Las distribuciones de probabilidad discreta se aplican en casos donde el conjunto de resultados posibles es discreto (distintos y aislados), como el lanzamiento de un dado o una moneda.

Ejemplo: Lanzamiento de un dado

Considera un dado de seis caras justo. La distribución de probabilidad se puede representar como sigue:

Resultado (X)	La probabilidad P(X)
1	1/6
2	1/6
3	1/6
4	1/6
5	1/6
6	1/6

Esta tabla refleja con precisión la distribución de probabilidad discreta para un solo lanzamiento de un dado de seis caras justo.

El gráfico anterior muestra visualmente esta distribución, donde la altura de cada barra corresponde a la probabilidad del resultado correspondiente.

2. Distribuciones de probabilidad continua

Una distribución de probabilidad continua, por otro lado, se refiere a una distribución en la que los resultados pueden tomar cualquier valor dentro de un cierto rango. A diferencia de una distribución discreta, las probabilidades en una distribución continua se asocian con rangos de resultados en lugar de valores individuales.

Ejemplo: Altura de estudiantes

Por ejemplo, las alturas de los estudiantes en una clase pueden modelarse usando una distribución de probabilidad continua, ya que las alturas pueden variar dentro de un rango y no están restringidas a un conjunto de valores discretos.

Un tipo muy común de distribución continua es la distribución normal, que a menudo se denomina campana debido a su forma:

La curva anterior muestra una distribución normal para las alturas de los estudiantes, con la mayoría de las alturas cercanas al promedio y alturas menos comunes en los extremos.

Representación matemática de la distribución

La representación matemática de una distribución de probabilidad depende de si es discreta o continua. Así es como pueden manejarse:

Distribución discreta

Para distribuciones discretas, normalmente usamos funciones de masa de probabilidad (PMF). Estas funciones dan la probabilidad de que una variable aleatoria discreta sea exactamente igual a algún valor.

P(X = x) = f(x)

Aquí, f(x) representa la probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor x .

Distribución continua

Las distribuciones continuas utilizan funciones de densidad de probabilidad (PDF), que describen la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor dado. A diferencia del caso discreto, aquí las probabilidades se determinan mediante la integración sobre un intervalo.

P(a ≤ X ≤ b) = int_{a}^{b} f(x) ,dx

Esta integral da la probabilidad de que la variable aleatoria continua X caiga en el rango a hasta b .

Distribución de probabilidad normal

Existen varias distribuciones de probabilidad importantes que aparecen con frecuencia en aplicaciones de la vida real:

1. Distribución binomial

La distribución binomial es una distribución discreta. Representa el número de éxitos en una secuencia de n experimentos independientes de sí/no, cada uno de los cuales da un éxito con probabilidad p .

Ejemplo: Si lanzas una moneda justa 3 veces, la distribución del número de caras (éxitos) que obtienes es una distribución binomial donde n = 3 y p = 0.5 .

2. Distribución normal

La distribución normal es una distribución continua y quizás la distribución más importante en estadística. Es simétrica y describe la gran mayoría de los eventos que ocurren de forma natural. Los eventos distribuidos normalmente tienen media μ y varianza σ^2 .

3. Distribución de Poisson

Una distribución discreta que expresa la probabilidad de un cierto número de eventos que ocurren en un cierto intervalo de tiempo o espacio. Las condiciones adecuadas para la distribución de Poisson incluyen una tasa promedio constante y la independencia entre eventos.

Propiedades de las distribuciones de probabilidad

Al trabajar con distribuciones de probabilidad, varias propiedades son esenciales:

• Suma de probabilidades: Para una distribución discreta, la suma de las probabilidades de todos los resultados posibles debe ser 1. En una distribución continua, el área bajo toda la curva de densidad de probabilidad debe ser 1.
• Media o expectativa: El valor esperado es el valor promedio de la variable aleatoria sobre un número infinito de ensayos.
• Varianza: La varianza proporciona la dispersión de los posibles valores de la variable aleatoria.

Conclusión

Las distribuciones de probabilidad proporcionan una imagen completa de cómo se asignan las probabilidades a través de diferentes resultados posibles. Comprender estas distribuciones es fundamental para entender los datos en los que se basa el análisis estadístico y las inferencias. Ya sea que estés lanzando dados, midiendo las alturas de los estudiantes o observando fenómenos más complejos, las distribuciones de probabilidad nos brindan las herramientas necesarias para evaluar y comprender la aleatoriedad subyacente del mundo que nos rodea.

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