Класс 11
  1. Алгебра  1.1. Понимание последовательностей и рядов в алгебре  1.1.1. Понимание арифметических последовательностей  1.1.2. Арифметические прогрессии  1.1.3. Понимание геометрических последовательностей  1.1.4. Понимание геометрических рядов  1.1.5. Сходимость и расходимость  1.1.6. Понимание "суммы до бесконечности" в алгебре  1.1.7. Обозначение Сигма  1.2. Комплексные числа  1.2.1. Понимание мнимых и комплексных чисел  1.2.2. Операции с комплексными числами  1.2.3. Полярная и декартова формы комплексных чисел  1.2.4. Комплексные сопряженные  1.2.5. Модуль и аргумент  1.2.6. Теорема Муавра  1.2.7. Степени и корни комплексных чисел  1.3. Бином Ньютона  1.3.1. Расширение бинома  1.3.2. Общие термины в биномиальной теореме  1.3.3. Биномиальный коэффициент  1.3.4. Применения биномиальной теоремы  1.3.5. Треугольник Паскаля
  2. Функции и графики  2.1. Типы задач  2.1.1. Полиномиальная функция  2.1.2. Рациональные функции  2.1.3. Экспоненциальная функция  2.1.4. Логарифмическая функция  2.1.5. Тригонометрические функции  2.1.6. Поштучная работа  2.2. Преобразование функций  2.2.1. Перевод  2.2.2. Понимание отражений в преобразованиях функций  2.2.3. Растяжение и растяжение  2.2.4. Понимание вращения в функциях и графиках  2.3. Обратная функция  2.3.1. Нахождение обратной функции  2.3.2. Графики обратных функций  2.3.3. Свойства обратных функций  2.3.4. Ограничения для обратных функций
  3. Тригонометрия  3.1. Тригонометрические отношения и идентичности  3.1.1. Основные тригонометрические отношения  3.1.2. Понимание пифагорейских тождеств в тригонометрии  3.1.3. Формулы суммы и разности углов  3.1.4. Формула двойного угла  3.1.5. Понимание формул половинного угла в тригонометрии  3.1.6. Формулы произведения к сумме и суммы к произведению  3.2. Тригонометрические уравнения  3.2.1. Решение тригонометрических уравнений  3.2.2. Общие решения в тригонометрических уравнениях  3.3. Графики тригонометрических функций  3.3.1. График синуса  3.3.2. Понимание графика косинуса  3.3.3. График тангенса  3.3.4. Регулировка амплитуды и длительности  3.3.5. Фазовое изменение на графике тригонометрических функций  3.4. Применение тригонометрии  3.4.1. Законы синусов и косинусов  3.4.2. Площадь треугольников  3.4.3. Решение треугольников  3.4.4. Подшипники и навигация
  4. Введение в математический анализ  4.1. Понимание пределов и непрерывности в математическом анализе  4.1.1. Понятие предела  4.1.2. Односторонние пределы  4.1.3. Понимание пределов на бесконечности в математическом анализе  4.1.4. Непрерывность функции  4.1.5. Типы разрывов  4.2. Дискриминация  4.2.1. Определение производной  4.2.2. Правила дифференцирования  4.2.3. Производные высшего порядка  4.2.4. Правило цепи  4.2.5. Правило произведения  4.2.6. Понимание правила частного в математическом анализе  4.3. Применение дифференцирования  4.3.1. Скорость изменения  4.3.2. Касательная и нормаль  4.3.3. Максимум и минимум  4.3.4. Понимание возрастающих и убывающих функций  4.3.5. Задачи оптимизации  4.3.6. График кривой  4.3.7. Связанные скорости в применениях дифференцирования  4.4. Что такое интеграция?  4.4.1. Первообразные  4.4.2. Неопределенный интеграл  4.4.3. Определенный интеграл  4.4.4. Основная теорема анализа  4.4.5. Техники интеграции  4.4.6. Понимание площади под кривой в интегрировании  4.5. Применения интегрирования  4.5.1. Площадь между кривыми  4.5.2. Объемы тел вращения  4.5.3. Понимание среднего значения функции в математическом анализе
  5. Векторы и матрицы  5.1. Векторы  5.1.1. Введение  5.1.2. Операции с векторами  5.1.3. Понимание скалярного произведения  5.1.4. Векторное произведение  5.1.5. Применение в геометрии  5.1.6. Проекция векторов  5.2. Матрицы  5.2.1. Типы матриц  5.2.2. Понимание операций с матрицами  5.2.3. Определители  5.2.4. Обратная матрица  5.2.5. Решение систем линейных уравнений  5.2.6. Правило Крамера
  6. Вероятность и статистика  6.1. Понимание вероятности в математике  6.1.1. Основные понятия вероятности  6.1.2. Условная вероятность  6.1.3. Введение в независимые и зависимые события в теории вероятностей  6.1.4. Теорема Байеса  6.1.5. Комбинаторная вероятность  6.2. Случайные величины  6.2.1. Дискретная случайная величина  6.2.2. Непрерывная случайная величина  6.2.3. Распределения вероятностей  6.3. Распределения вероятностей  6.3.1. Понимание биномиального распределения  6.3.2. Нормальное распределение  6.3.3. Распределение Пуассона  6.3.4. Равномерное распределение  6.4. Фигуры  6.4.1. Меры центральной тенденции  6.4.2. Меры разброса  6.4.3. Сбор и представление данных  6.4.4. Корреляция и Регрессия  6.4.5. Техники выборки
  7. Координатная геометрия  7.1. Прямые линии в координатной геометрии  7.1.1. Форма наклона и пересечения в координатной геометрии  7.1.2. Формула расстояния в прямых линиях  7.1.3. Понимание формулы средней точки в координатной геометрии  7.1.4. Угол между линиями  7.1.5. Уравнение прямых  7.2. Конические сечения  7.2.1. Круг  7.2.2. Введение в параболы  7.2.3. Эллипс в коническом сечении  7.2.4. Понимание гиперболы в конических сечениях  7.2.5. Свойства конических сечений  7.2.6. Параметрические уравнения конусов  7.2.7. Полярные координаты коник
  8. Арифметическая логика  8.1. Введение в логику в математической логике  8.1.1. Утверждения и логические связки  8.1.2. Таблицы истинности  8.1.3. Логическое равенство  8.1.4. Кванторы в логике и математической логике  8.1.5. Методы доказательств  8.2. Понимание доказательств в математической логике  8.2.1. Прямое доказательство  8.2.2. Косвенные доказательства  8.2.3. Понимание доказательства от противного  8.2.4. Доказательство по математической индукции

Класс 11 → Вероятность и статистика → Распределения вероятностей ↓


Равномерное распределение


В мире теории вероятностей и статистики понятие равномерного распределения является одним из более простых и более фундаментальных распределений вероятностей. Равномерное распределение часто считается самой базовой формой, потому что его основной принцип заключается в том, что каждый результат одинаково вероятен. Привлекательность равномерного распределения заключается в его простоте и широком спектре приложений в реальных сценариях.

Понимание равномерного распределения

Равномерное распределение — это тип распределения вероятности, при котором все результаты одинаково вероятны. Чтобы глубже понять эту тему, давайте сначала рассмотрим ее основные характеристики и посмотрим, как это работает как в теории, так и на практике.

Равномерное распределение описывается для дискретных и непрерывных случайных величин:

  • Дискретное равномерное распределение: Если конечное множество дискретных результатов одинаково вероятно, то дискретное равномерное распределение имеет смысл. Классическим примером является бросок честной кости, где каждая из шести граней имеет равную вероятность выпадения.
  • Непрерывное равномерное распределение: Здесь любое значение в непрерывном диапазоне одинаково вероятно. Идеальным примером является выбор случайного числа между 0 и 1.

Математическое представление

Дискретное равномерное распределение

Функция вероятности (PMF) для дискретного равномерного распределения довольно проста. Если X — это дискретная случайная величина с равномерным распределением из n возможных исходов, ее PMF задается следующим образом:

P(X = x) = 1/n

Где:

  • X представляет собой дискретную случайную величину.
  • x представляет собой возможный исход.
  • n — общее количество возможных исходов.

Рассмотрим бросок честной шестигранной кости. Множество возможных исходов — {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Вероятность каждой грани равна:

P(кость = x) = 1/6

Непрерывное равномерное распределение

Для непрерывного равномерного распределения функция плотности вероятности (PDF) определяется иначе. Если X — это непрерывная случайная величина с равномерным распределением на интервале [a, b], то ее PDF имеет вид:

f(x) = 1/(b - a); для a ≤ x ≤ b

и f(x) = 0 для любого x вне [a, b].

A B 1/(BA)

Этот график иллюстрирует непрерывное равномерное распределение от a до b, где каждая точка в этом интервале имеет одинаковую вероятность.

Свойства равномерного распределения

Математическое ожидание и дисперсия

Как и все распределения вероятностей, равномерное распределение также имеет такие характеристики, как математическое ожидание (среднее) и дисперсия, которые дают представление о его поведении.

  1. Среднее дискретного равномерного распределения: 
    E(X) = (n + 1)/2
  2. Дисперсия дискретного равномерного распределения: 
    Var(X) = (n² - 1)/12
  3. Среднее непрерывного равномерного распределения: 
    E(X) = (a + b)/2
  4. Дисперсия непрерывного равномерного распределения: 
    Var(X) = (b - a)²/12

Примеры равномерного распределения

Реальный пример 1: Лотерея

Рассмотрим простую лотерею, в которой вы выбираете число от 1 до 50. Если лотерея честная, то каждое число должно иметь равные шансы быть выбранным. Таким образом, распределение вероятностей для выбора конкретного числа, например, X равное 25, составляет:

P(X = 25) = 1/50

Реальный пример 2: Генератор случайных чисел

Представьте себе компьютерное приложение, которое случайным образом выбирает число между 0 и 1. Это типичный сценарий для непрерывного равномерного распределения, где вероятность выбора числа одинакова на протяжении всего диапазона.

Применения равномерного распределения

  • Выборка: При генерации случайных выборок для экспериментов или симуляций часто используется равномерное распределение в качестве основы.
  • Методы Монте-Карло: Используются в вычислительных алгоритмах, полагающихся на многократное случайное взятие выборок.
  • Генератор случайных чисел: Часто реализуется на основе псевдослучайных алгоритмов, аппроксимирующих непрерывное равномерное распределение на данном диапазоне.

Визуализация равномерного распределения

Визуализации помогают нам понять сущность равномерного распределения. Вот как это может выглядеть для дискретного случая (шестигранная кость) на графике:

1 2 3 4 5 6 1/6

Каждая полоска представляет собой равную вероятность каждой грани кости.

Заключение

Равномерное распределение прекрасно своей простотой, предоставляя яркий пример равной вероятности в действиях или событиях. Независимо от того, дискретное оно или непрерывное, оно служит важнейшим строительным блоком для понимания более сложных моделей вероятности и статистики. Таким образом, овладение равномерным распределением открывает дверь к изучению широкого круга увлекательных тем в теории вероятностей и статистике.


Класс 11 → 6.3.4


U
username
0%
завершено в Класс 11

← предыдущая (6.3.3)
Распределение Пуассона
следующая (6.4) →
Фигуры

комментарии 



Равномерное распределение

https://www.buddymath.com/g11/6.3.4?bmal=ru