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समान वितरण
प्रायिकता और सांख्यिकी की दुनिया में, समान वितरण की अवधारणा सबसे सरल और मौलिक प्रायिकता वितरणों में से एक है। समान वितरण को अक्सर सबसे बुनियादी रूप माना जाता है क्योंकि इसका मुख्य सिद्धांत यह है कि प्रत्येक परिणाम समान रूप से संभावित है। समान वितरण की आकर्षण इसकी सरलता में और वास्तविक जीवन के परिदृश्यों में इसके अनुप्रयोगों की विस्तृत श्रृंखला में निहित है।
न्यायसंगत वितरण को समझना
समान वितरण एक प्रकार का प्रायिकता वितरण है जिसमें सभी परिणाम समान रूप से संभावित होते हैं। विषय को गहराई से समझने के लिए, हम पहले इसके मुख्य विशेषताओं को देखेंगे और देखेंगे कि कैसे यह सिद्धांत और व्यवहार दोनों में कार्य करता है।
समान वितरण को अनिवार्य रूप से समांकित और निरंतर यादृच्छिक चर के रूप में वर्णित किया गया है:
- समांकित समान वितरण: यदि सीमित समांकित परिणाम समान रूप से संभावित हों, तो समांकित समान वितरण समझ में आता है। एक क्लासिक उदाहरण होगा एक निष्पक्ष पासा रोल, जहाँ छह चेहरों में से प्रत्येक के निकलने की समान संभावना होती है।
- निरंतर समान वितरण: यहाँ, एक निरंतर श्रेणी में कोई भी मूल्य समान रूप से संभावित होता है। एक श्रेष्ठ उदाहरण 0 और 1 के बीच एक यादृच्छिक संख्या चुनना है।
गणितीय प्रस्तुति
समांकित समान वितरण
समांकित समान वितरण के लिए प्रायिकता जनक्य (पीएमएफ) बहुत सरल होता है। यदि X n परिणामों के साथ एक समांकित यादृच्छिक चर है, तो इसका पीएमएफ इस प्रकार दिया जाता है:
P(X = x) = 1/nजहाँ:
Xएक समांकित यादृच्छिक चर का प्रतिनिधित्व करता है।xसंभावित परिणाम का प्रतिनिधित्व करता है।nसंभावित परिणामों की कुल संख्या है।
उदाहरण के लिए एक निष्पक्ष छह-पक्षीय पासा फेंकने पर विचार करें। संभावित परिणामों का सेट {1, 2, 3, 4, 5, 6} है। प्रत्येक चेहरे की प्रायिकता है:
P(die = x) = 1/6निरंतर समान वितरण
एक निरंतर समान वितरण के लिए, प्रायिकता घनत्व फलन (पीडीएफ) अलग तरीके से परिभाषित है। यदि X समंतराल [a, b] पर एक निरंतर समान यादृच्छिक चर है, तो इसका पीडीएफ है:
f(x) = 1/(b - a); for a ≤ x ≤ bऔर f(x) = 0 किसी भी x के लिए जो [a, b] में नहीं है।
यह ग्राफ a से b तक एक निरंतर समान वितरण दिखाता है, जहाँ इस अंतराल के भीतर प्रत्येक बिंदु के घटित होने की समान संभावना होती है।
समान वितरण के गुण
अपेक्षा और परिवर्तन
सभी प्रायिकता वितरण की तरह, समान वितरण की भी औसत (मीन) और प्रसरण (वेरिएंस) जैसी विशेषताएँ होती हैं जो इसके व्यवहार की जानकारी देती हैं।
- समांकित समान वितरण का औसत:
E(X) = (n + 1)/2 - समांकित समान वितरण का प्रसरण:
Var(X) = (n² - 1)/12 - निरंतर समान वितरण का औसत:
E(X) = (a + b)/2 - निरंतर समान वितरण का प्रसरण:
Var(X) = (b - a)²/12
समान वितरण के उदाहरण
वास्तविक दुनिया का उदाहरण 1: लॉटरी
एक सरल लॉटरी पर विचार करें जहाँ आप 1 और 50 के बीच एक संख्या चुनते हैं। यदि लॉटरी निष्पक्ष है, तो प्रत्येक संख्या के खींचे जाने की समान संभावना होनी चाहिए। तो, एक विशिष्ट संख्या जैसे X के 25 के लिए संभावना वितरण है:
P(X = 25) = 1/50वास्तविक दुनिया का उदाहरण 2: यादृच्छिक संख्या जेनरेटर
कल्पना करें कि एक कंप्यूटर एप्लिकेशन 0 और 1 के बीच एक संख्या यादृच्छिक रूप से चुनता है। यह एक निरंतर समान वितरण का एक विशिष्ट दृश्य है, जहाँ सीमा भर में संख्या खींचने की संभावना समान होती है।
समान वितरण के अनुप्रयोग
- नमूना: प्रयोगों या सिमुलेशन के लिए यादृच्छिक नमूने उत्पन्न करने पर, समान वितरण का आधार के रूप में उपयोग करना सामान्य होता है।
- मोंटे कार्लो विधियाँ: कम्प्यूटेशनल एल्गोरिदम में उपयोग किया जाता है जो बार-बार यादृच्छिक नमूना पर निर्भर होते हैं।
- यादृच्छिक संख्या जेनरेटर: अक्सर छद्म-यादृच्छिक एल्गोरिदम पर आधारित होते हैं जो एक दिए गए सीमा पर निरंतर समान वितरण का अनुमान लगाते हैं।
समान वितरण का विज़ुअलाइज़ेशन
विज़ुअलाइज़ेशन हमें समान वितरण का सार समझने में मदद करता है। यहाँ यह ग्राफ में समांकित केस (छह-पक्षीय पासा) के लिए कैसे दिख सकता है:
प्रत्येक पट्टी पासे के प्रत्येक फेस की समान संभावना का प्रतिनिधित्व करती है।
निष्कर्ष
समान वितरण अपनी सरलता में सुंदर है, जो विशेष रूप से क्रियाओं या घटनाओं में समान प्रायिकता का एक उत्कृष्ट उदाहरण प्रस्तुत करता है। चाहे समांकित हो या निरंतर, यह अधिक जटिल प्रायिकता और सांख्यिकी मॉडलों को समझने के लिए एक महत्वपूर्ण आधार के रूप में कार्य करता है। इसलिए, समान वितरण की महारत प्रायिकता और सांख्यिकी में एक विस्तृत श्रृंखला के आकर्षक विषयों की खोज के लिए द्वार खोलती है।
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