Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Distribución uniforme


En el mundo de la probabilidad y la estadística, el concepto de la distribución uniforme es una de las distribuciones de probabilidad más simples y fundamentales. La distribución uniforme a menudo se considera la forma más básica porque su principio principal es que cada resultado es igualmente probable. El atractivo de la distribución uniforme radica en su simplicidad y en su amplia gama de aplicaciones en escenarios de la vida real.

Entendiendo la distribución equitativa

La distribución uniforme es un tipo de distribución de probabilidad en la que todos los resultados son igualmente probables. Para entender el tema a fondo, primero veamos sus características principales y comprendamos cómo funciona tanto en teoría como en práctica.

La distribución uniforme se describe esencialmente para variables aleatorias discretas y continuas:

  • Distribución uniforme discreta: Si un conjunto finito de resultados discretos son igualmente probables, entonces la distribución uniforme discreta tiene sentido. Un ejemplo clásico sería el lanzamiento de un dado justo, donde cada una de sus seis caras tiene una probabilidad igual de aparecer.
  • Distribución uniforme continua: Aquí, cualquier valor en el rango continuo es igualmente probable. Un ejemplo perfecto es elegir un número aleatorio entre 0 y 1.

Representación matemática

Distribución uniforme discreta

La función de masa de probabilidad (PMF) para una distribución uniforme discreta es bastante simple. Si X es una variable aleatoria discreta uniforme en n resultados, su PMF se da por:

P(X = x) = 1/n

Donde:

  • X representa una variable aleatoria discreta.
  • x representa el posible resultado.
  • n es el número total de resultados posibles.

Consideremos lanzar un dado justo de seis caras. El conjunto de resultados posibles es {1, 2, 3, 4, 5, 6}. La probabilidad de cada cara es:

P(dado = x) = 1/6

Distribución uniforme continua

Para una distribución uniforme continua, la función de densidad de probabilidad (PDF) se define de manera diferente. Si X es una variable aleatoria continua uniforme en el intervalo [a, b], entonces su PDF es:

f(x) = 1/(b - a); para a ≤ x ≤ b

y f(x) = 0 para cualquier x que no esté en [a, b].

A B 1/(BA)

Este gráfico muestra una distribución uniforme continua de a a b, donde cada punto dentro de este intervalo tiene una probabilidad igual de ocurrir.

Propiedades de la distribución uniforme

Esperanza y varianza

Como todas las distribuciones de probabilidad, la distribución uniforme también tiene características como la esperanza (media) y la varianza que proporcionan información sobre su comportamiento.

  1. Media de una distribución uniforme discreta: 
    E(X) = (n + 1)/2
  2. Varianza de la distribución uniforme discreta: 
    Var(X) = (n² - 1)/12
  3. Media de una distribución uniforme continua: 
    E(X) = (a + b)/2
  4. Varianza de una distribución uniforme continua: 
    Var(X) = (b - a)²/12

Ejemplos de distribución uniforme

Ejemplo del mundo real 1: La lotería

Considera una simple lotería donde eliges un número entre 1 y 50. Si la lotería es justa, cada número debe tener una igual oportunidad de ser seleccionado. Por lo tanto, la distribución de probabilidad para seleccionar un número específico, por ejemplo X es 25, es:

P(X = 25) = 1/50

Ejemplo del mundo real 2: Generador de números aleatorios

Imagina una aplicación de computadora que elige aleatoriamente un número entre 0 y 1. Este es un escenario típico para una distribución uniforme continua, donde la probabilidad de sacar un número es la misma a lo largo del rango.

Aplicaciones de la distribución uniforme

  • Muestreo: Al generar muestras aleatorias para experimentos o simulaciones, es común usar la distribución uniforme como base.
  • Métodos Monte Carlo: Utilizados en algoritmos computacionales que dependen de muestreos aleatorios repetidos.
  • Generador de números aleatorios: A menudo implementado en algoritmos pseudoaleatorios que aproximan una distribución uniforme continua sobre un rango dado.

Visualización de la distribución uniforme

Las visualizaciones nos ayudan a entender la esencia de la distribución uniforme. Así es como podría parecer para el caso discreto (dado de seis caras) dentro de un gráfico:

1 2 3 4 5 6 1/6

Cada barra representa la probabilidad igual de cada cara del dado.

Conclusión

La distribución uniforme es hermosa en su simplicidad, proporcionando un ejemplo principal de probabilidad igual en acciones o eventos. Ya sea discreta o continua, sirve como un importante bloque de construcción para entender modelos de probabilidad y estadística más complejos. Por lo tanto, dominar la distribución uniforme abre la puerta a explorar una amplia gama de temas fascinantes en probabilidad y estadística.


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