Класс 11
  1. Алгебра  1.1. Понимание последовательностей и рядов в алгебре  1.1.1. Понимание арифметических последовательностей  1.1.2. Арифметические прогрессии  1.1.3. Понимание геометрических последовательностей  1.1.4. Понимание геометрических рядов  1.1.5. Сходимость и расходимость  1.1.6. Понимание "суммы до бесконечности" в алгебре  1.1.7. Обозначение Сигма  1.2. Комплексные числа  1.2.1. Понимание мнимых и комплексных чисел  1.2.2. Операции с комплексными числами  1.2.3. Полярная и декартова формы комплексных чисел  1.2.4. Комплексные сопряженные  1.2.5. Модуль и аргумент  1.2.6. Теорема Муавра  1.2.7. Степени и корни комплексных чисел  1.3. Бином Ньютона  1.3.1. Расширение бинома  1.3.2. Общие термины в биномиальной теореме  1.3.3. Биномиальный коэффициент  1.3.4. Применения биномиальной теоремы  1.3.5. Треугольник Паскаля
  2. Функции и графики  2.1. Типы задач  2.1.1. Полиномиальная функция  2.1.2. Рациональные функции  2.1.3. Экспоненциальная функция  2.1.4. Логарифмическая функция  2.1.5. Тригонометрические функции  2.1.6. Поштучная работа  2.2. Преобразование функций  2.2.1. Перевод  2.2.2. Понимание отражений в преобразованиях функций  2.2.3. Растяжение и растяжение  2.2.4. Понимание вращения в функциях и графиках  2.3. Обратная функция  2.3.1. Нахождение обратной функции  2.3.2. Графики обратных функций  2.3.3. Свойства обратных функций  2.3.4. Ограничения для обратных функций
  3. Тригонометрия  3.1. Тригонометрические отношения и идентичности  3.1.1. Основные тригонометрические отношения  3.1.2. Понимание пифагорейских тождеств в тригонометрии  3.1.3. Формулы суммы и разности углов  3.1.4. Формула двойного угла  3.1.5. Понимание формул половинного угла в тригонометрии  3.1.6. Формулы произведения к сумме и суммы к произведению  3.2. Тригонометрические уравнения  3.2.1. Решение тригонометрических уравнений  3.2.2. Общие решения в тригонометрических уравнениях  3.3. Графики тригонометрических функций  3.3.1. График синуса  3.3.2. Понимание графика косинуса  3.3.3. График тангенса  3.3.4. Регулировка амплитуды и длительности  3.3.5. Фазовое изменение на графике тригонометрических функций  3.4. Применение тригонометрии  3.4.1. Законы синусов и косинусов  3.4.2. Площадь треугольников  3.4.3. Решение треугольников  3.4.4. Подшипники и навигация
  4. Введение в математический анализ  4.1. Понимание пределов и непрерывности в математическом анализе  4.1.1. Понятие предела  4.1.2. Односторонние пределы  4.1.3. Понимание пределов на бесконечности в математическом анализе  4.1.4. Непрерывность функции  4.1.5. Типы разрывов  4.2. Дискриминация  4.2.1. Определение производной  4.2.2. Правила дифференцирования  4.2.3. Производные высшего порядка  4.2.4. Правило цепи  4.2.5. Правило произведения  4.2.6. Понимание правила частного в математическом анализе  4.3. Применение дифференцирования  4.3.1. Скорость изменения  4.3.2. Касательная и нормаль  4.3.3. Максимум и минимум  4.3.4. Понимание возрастающих и убывающих функций  4.3.5. Задачи оптимизации  4.3.6. График кривой  4.3.7. Связанные скорости в применениях дифференцирования  4.4. Что такое интеграция?  4.4.1. Первообразные  4.4.2. Неопределенный интеграл  4.4.3. Определенный интеграл  4.4.4. Основная теорема анализа  4.4.5. Техники интеграции  4.4.6. Понимание площади под кривой в интегрировании  4.5. Применения интегрирования  4.5.1. Площадь между кривыми  4.5.2. Объемы тел вращения  4.5.3. Понимание среднего значения функции в математическом анализе
  5. Векторы и матрицы  5.1. Векторы  5.1.1. Введение  5.1.2. Операции с векторами  5.1.3. Понимание скалярного произведения  5.1.4. Векторное произведение  5.1.5. Применение в геометрии  5.1.6. Проекция векторов  5.2. Матрицы  5.2.1. Типы матриц  5.2.2. Понимание операций с матрицами  5.2.3. Определители  5.2.4. Обратная матрица  5.2.5. Решение систем линейных уравнений  5.2.6. Правило Крамера
  6. Вероятность и статистика  6.1. Понимание вероятности в математике  6.1.1. Основные понятия вероятности  6.1.2. Условная вероятность  6.1.3. Введение в независимые и зависимые события в теории вероятностей  6.1.4. Теорема Байеса  6.1.5. Комбинаторная вероятность  6.2. Случайные величины  6.2.1. Дискретная случайная величина  6.2.2. Непрерывная случайная величина  6.2.3. Распределения вероятностей  6.3. Распределения вероятностей  6.3.1. Понимание биномиального распределения  6.3.2. Нормальное распределение  6.3.3. Распределение Пуассона  6.3.4. Равномерное распределение  6.4. Фигуры  6.4.1. Меры центральной тенденции  6.4.2. Меры разброса  6.4.3. Сбор и представление данных  6.4.4. Корреляция и Регрессия  6.4.5. Техники выборки
  7. Координатная геометрия  7.1. Прямые линии в координатной геометрии  7.1.1. Форма наклона и пересечения в координатной геометрии  7.1.2. Формула расстояния в прямых линиях  7.1.3. Понимание формулы средней точки в координатной геометрии  7.1.4. Угол между линиями  7.1.5. Уравнение прямых  7.2. Конические сечения  7.2.1. Круг  7.2.2. Введение в параболы  7.2.3. Эллипс в коническом сечении  7.2.4. Понимание гиперболы в конических сечениях  7.2.5. Свойства конических сечений  7.2.6. Параметрические уравнения конусов  7.2.7. Полярные координаты коник
  8. Арифметическая логика  8.1. Введение в логику в математической логике  8.1.1. Утверждения и логические связки  8.1.2. Таблицы истинности  8.1.3. Логическое равенство  8.1.4. Кванторы в логике и математической логике  8.1.5. Методы доказательств  8.2. Понимание доказательств в математической логике  8.2.1. Прямое доказательство  8.2.2. Косвенные доказательства  8.2.3. Понимание доказательства от противного  8.2.4. Доказательство по математической индукции

Класс 11 → Вероятность и статистика → Распределения вероятностей ↓


Распределение Пуассона


Распределение Пуассона — это тип вероятностного распределения, используемого для отображения того, как часто событие может произойти в заданный период времени. Оно особенно полезно для случайных и редких событий, таких как количество электронных писем, полученных за час, или количество землетрясений в году в определенной области.

Понимание распределения Пуассона

Распределение Пуассона носит имя французского математика Симона-Дени Пуассона. Оно помогает ответить на вопросы, такие как: «Какова вероятность того, что определенное количество событий произойдет в заданном временном интервале?» Например, если мы знаем среднее количество электронных писем, получаемых за час, мы можем оценить вероятность получения определенного количества писем в следующий час.

Давайте разберем это подробнее:

  • Это событие происходит с определенной средней частотой со временем — например, получение электронного письма или уровень рождаемости в городе.
  • События независимы друг от друга. Это значит, что возникновение одного события не влияет на возникновение другого события. Например, получение одного письма не влияет на получение другого письма.
  • Рассматриваемый интервал может быть длительностью времени, расстоянием, площадью и т.д.

Математические формулы

Распределение Пуассона описывается следующей формулой:

P(X=k) = (λ^k * e^{-λ}) / k!

Где:

  • P(X=k) — вероятность появления k событий в интервале.
  • λ (лямбда) — среднее количество событий в интервале.
  • e примерно равно 2.71828 (число Эйлера).
  • k! — это факториал k, который представляет собой произведение всех положительных целых чисел до k.

Давайте рассмотрим это на примере.

Пример: Приход электронной почты

Предположим, вы получаете в среднем 5 писем за час. Вы хотите узнать, какова вероятность получения ровно 3 писем в следующий час. В этом случае λ = 5, и вы хотите найти P(X=3).

Использование формулы Пуассона:

P(x=3) = (5^3 * e^{-5}) / 3!

Рассчитаем это выражение по шагам:

5^3 = 125
e^{-5} ≈ 0.0067
3! = 3 * 2 * 1 = 6

Вставьте эти значения обратно в выражение:

P(x=3) = (125 * 0.0067) / 6 ≈ 0.1404

Это означает, что вероятность получения ровно 3 писем в следующий час составляет примерно 14.04%.

Визуальный пример

Чтобы сделать это объяснение яснее, давайте взглянем на распределение Пуассона, используя простой столбчатый график. Вот пример вероятности получения разного количества писем (событий), когда средняя ставка λ равна 5.

0 1 2 3 4 5 6 Количество писем (k) Вероятность P(X=k)

На этой диаграмме высота каждого столбца представляет вероятность получения k писем. Самый высокий столбец соответствует наиболее вероятному количеству, которое близко к средней ставке λ = 5.

Примеры использования распределения Пуассона в реальной жизни

Распределение Пуассона используется для моделирования данных, основанных на счете, в различных областях. Вот некоторые реальные сценарии, где оно может быть применено:

  • Колл-центры: прогнозирование количества телефонных звонков, полученных за час.
  • Здравоохранение: предсказание числа пациентов, поступающих в отделение неотложной помощи.
  • Финансы: количество сделок, заключаемых в течение дня брокерской фирмой
  • Астрономия: подсчет числа метеоритов, поражающих определенную область Земли.
  • Игры: количество голов, забитых командой в футбольном матче.

Свойства распределения Пуассона

Распределение Пуассона имеет несколько свойств, которые делают его полезным для вероятности и статистики:

  • Дискретное распределение: оно работает с вероятностью дискретных случайных величин — то есть, оно для счетных событий.
  • Среднее и дисперсия: в распределении Пуассона среднее число событий λ равно дисперсии. Это свойство уникально для распределения Пуассона.
  • Однозначно определено: распределение полностью определяется одним параметром λ.
  • Отсутствие памяти: количество событий, происходящих в независимых временных интервалах, являются независимыми.
  • Сходство с нормальным распределением: по мере увеличения λ распределение Пуассона начинает походить на нормальное распределение, представляющее собой колоколообразную кривую.

Ограничения

Хотя распределение Пуассона является мощным инструментом, у него есть некоторые ограничения. Оно предполагает независимость событий и постоянную среднюю частоту со временем. В реальности эти предположения могут быть не всегда верны. Например, количество телефонных звонков в колл-центр может неожиданно увеличиться в ходе специальных акций или чрезвычайных ситуаций.

В таких случаях может потребоваться альтернативная модель для описания изменчивости. Также, когда количество событий очень велико или временной период очень большой, распределение Пуассона может быть не самым эффективным выбором, а другие распределения, такие как нормальное, могут быть более подходящими.

Заключение

Распределение Пуассона — это важная концепция в вероятности и статистике, особенно когда необходимо оценить количество событий, происходящих в определенном интервале времени или пространства. Благодаря своим уникальным математическим свойствам оно используется в широком спектре приложений, от науки и инженерии до экономики и здравоохранения.

Понимая основы распределения Пуассона, вы можете лучше моделировать данные и делать практические выводы из сложных реальных сценариев. Помните, что оно лучше всего подходит для редких, независимых событий, происходящих на постоянной средней частоте.

Всякий раз, когда вы сталкиваетесь с случайными, основанными на счете процессами в учебе или повседневной жизни, подумайте о распределении Пуассона и посмотрите, как оно может помочь вам сделать предсказания или эффективно анализировать данные.


Класс 11 → 6.3.3


U
username
0%
завершено в Класс 11

← предыдущая (6.3.2)
Нормальное распределение
следующая (6.3.4) →
Равномерное распределение

комментарии 



Распределение Пуассона

https://www.buddymath.com/g11/6.3.3?bmal=ru