11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

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Distribuição de Poisson


A distribuição de Poisson é um tipo de distribuição de probabilidade usada para mostrar com que frequência um evento é provável de ocorrer em um período de tempo especificado. É especialmente útil para eventos que ocorrem aleatoriamente e são raros, como o número de e-mails que você recebe em uma hora ou o número de terremotos em um ano em uma determinada área.

Compreendendo a distribuição de Poisson

A distribuição de Poisson leva o nome do matemático francês Siméon Denis Poisson. Ela nos ajuda a responder a perguntas como: "Qual é a probabilidade de um certo número de eventos ocorrer em um dado intervalo de tempo?" Por exemplo, se sabemos o número médio de e-mails que recebemos em uma hora, podemos estimar a probabilidade de receber um certo número de e-mails na próxima hora.

Vamos dividir isso em partes:

  • Este evento é algo que ocorre a uma certa taxa média ao longo do tempo – como o recebimento de um e-mail ou a taxa de natalidade em uma cidade.
  • Os eventos são independentes uns dos outros. Isso significa que a ocorrência de um evento não afeta a ocorrência de outro evento. Por exemplo, receber um e-mail não afeta o recebimento de outro e-mail.
  • O intervalo em questão pode ser um período de tempo, distância, área, etc.

Fórmulas matemáticas

A distribuição de Poisson é descrita pela seguinte fórmula:

P(X=k) = (λ^k * e^{-λ}) / k!

Onde:

  • P(X=k) é a probabilidade de k eventos ocorrerem em um intervalo.
  • λ (lambda) é o número médio de eventos no intervalo.
  • e é aproximadamente igual a 2.71828 (o número de Euler).
  • k! é o fatorial de k, que é o produto de todos os inteiros positivos até k.

Vamos examinar isso com um exemplo.

Exemplo: Chegada de e-mails

Suponha que você receba em média 5 e-mails por hora. Você quer saber qual é a probabilidade de receber exatamente 3 e-mails na próxima hora. Neste caso, λ = 5 e você quer encontrar P(X=3).

Uso da fórmula de Poisson:

P(x=3) = (5^3 * e^{-5}) / 3!

Calcule a expressão acima passo a passo:

5^3 = 125
e^{-5} ≈ 0.0067
3! = 3 * 2 * 1 = 6

Reinsira esses valores na expressão:

P(x=3) = (125 * 0.0067) / 6 ≈ 0.1404

Isso significa que a probabilidade de receber exatamente 3 e-mails na próxima hora é aproximadamente 14,04%.

Exemplo visual

Para tornar esta explicação mais clara, vamos ver a distribuição de Poisson usando um gráfico de barras simples. Aqui está um exemplo da probabilidade de receber diferentes números de e-mails (eventos) quando a taxa média λ é 5.

0 1 2 3 4 5 6 Número de e-mails (k) A probabilidade P(X=k)

Neste gráfico, a altura de cada barra representa a probabilidade de receber k e-mails. A barra mais alta corresponde ao número mais provável, que é próximo à taxa média λ = 5.

Aplicações reais da distribuição de Poisson

A distribuição de Poisson é usada para modelar dados baseados em contagem em vários campos. Aqui estão alguns cenários da vida real onde ela pode ser aplicada:

  • Centros de atendimento: previsão do número de chamadas telefônicas recebidas por hora.
  • Saúde: Predizendo o número de pacientes que chegam à sala de emergência.
  • Finanças: O número de transações executadas em um dia por uma corretora
  • Astronomia: Contagem dos meteoritos que atingem uma determinada área na Terra.
  • Jogos: O número de gols marcados por uma equipe em uma partida de futebol.

Propriedades da distribuição de Poisson

A distribuição de Poisson possui várias propriedades que a tornam útil para probabilidade e estatísticas:

  • Distribuição discreta: Lida com a probabilidade de variáveis aleatórias discretas - isto é, é para eventos contáveis.
  • Média e variância: Na distribuição de Poisson, o número médio de eventos λ é igual à variância. Esta propriedade é única para a distribuição de Poisson.
  • Determinada unicamente: a distribuição é completamente determinada por um único parâmetro λ.
  • Sem memória: O número de eventos que ocorre em intervalos de tempo disjuntos é independente.
  • Convergindo para a distribuição normal: À medida que λ se torna maior, a distribuição de Poisson começa a se parecer mais com uma distribuição normal, que é uma curva em forma de sino.

Limitações

Embora a distribuição de Poisson seja uma ferramenta poderosa, ela tem algumas limitações. Ela assume que os eventos ocorrem de forma independente e que a taxa média é constante ao longo do tempo. Na realidade, essas suposições podem nem sempre ser verdadeiras. Por exemplo, o número de ligações telefônicas para um centro de atendimento pode aumentar inesperadamente durante promoções especiais ou emergências.

Nesses casos, um modelo alternativo pode ser necessário para descrever a variabilidade. Além disso, quando o número de eventos é muito alto ou o período de tempo é muito grande, a distribuição de Poisson pode não ser a escolha mais eficiente, e outras distribuições, como a normal, podem ser mais apropriadas.

Conclusão

A distribuição de Poisson é um conceito essencial em probabilidade e estatística, especialmente quando precisamos estimar o número de eventos que ocorrem em um determinado intervalo de tempo ou espaço. Com suas propriedades matemáticas únicas, ela é usada em uma ampla gama de aplicações, desde ciência e engenharia até economia e saúde.

Compreendendo os fundamentos da distribuição de Poisson, você pode modelar melhor os dados e tirar conclusões práticas de cenários complexos do mundo real. Lembre-se de que ela é mais adequada para eventos raros, independentes, que ocorrem a uma taxa média constante.

Sempre que você encontrar processos aleatórios baseados em contagem em seus estudos ou na vida cotidiana, pense na distribuição de Poisson e veja como ela pode ajudá-lo a fazer previsões ou analisar dados de forma eficaz.


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