Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Distribución de Poisson


La distribución de Poisson es un tipo de distribución de probabilidad utilizada para mostrar con qué frecuencia es probable que ocurra un evento en un período de tiempo especificado. Es especialmente útil para eventos que ocurren al azar y son raros, como el número de correos electrónicos que recibes en una hora, o el número de terremotos en un año en una determinada área.

Entendiendo la distribución de Poisson

La distribución de Poisson lleva el nombre del matemático francés Siméon Denis Poisson. Nos ayuda a responder preguntas como, "¿Cuál es la probabilidad de que un cierto número de eventos ocurra en un intervalo de tiempo dado?". Por ejemplo, si conocemos el número promedio de correos electrónicos que recibimos en una hora, podemos estimar la probabilidad de recibir un número determinado de correos electrónicos en la próxima hora.

Desglosémoslo más:

  • Este evento es algo que ocurre a una cierta tasa promedio con el tiempo, como la recepción de un correo electrónico o la tasa de natalidad en una ciudad.
  • Los eventos son independientes entre sí. Esto significa que la ocurrencia de un evento no afecta a la ocurrencia de otro evento. Por ejemplo, recibir un correo electrónico no afecta recibir otro correo electrónico.
  • El intervalo en cuestión podría ser una longitud de tiempo, distancia, área, etc.

Fórmulas matemáticas

La distribución de Poisson se describe mediante la siguiente fórmula:

P(X=k) = (λ^k * e^{-λ}) / k!

Dónde:

  • P(X=k) es la probabilidad de que ocurran k eventos en un intervalo.
  • λ (lambda) es el número promedio de eventos en el intervalo.
  • e es aproximadamente igual a 2.71828 (el número de Euler).
  • k! es el factorial de k, que es el producto de todos los enteros positivos hasta k.

Miremos esto con un ejemplo.

Ejemplo: Llegada de correos electrónicos

Supongamos que recibes un promedio de 5 correos electrónicos por hora. Quieres saber cuál es la probabilidad de recibir exactamente 3 correos electrónicos en la próxima hora. En este caso, λ = 5 y quieres encontrar P(X=3).

Uso de la fórmula de Poisson:

P(x=3) = (5^3 * e^{-5}) / 3!

Calcula la expresión anterior paso a paso:

5^3 = 125
e^{-5} ≈ 0.0067
3! = 3 * 2 * 1 = 6

Reinserta estos valores en la expresión:

P(x=3) = (125 * 0.0067) / 6 ≈ 0.1404

Esto significa que la probabilidad de recibir exactamente 3 correos electrónicos en la próxima hora es aproximadamente 14.04%.

Ejemplo visual

Para hacer esta explicación más clara, veamos la distribución de Poisson usando un gráfico de barras simple. Aquí tienes un ejemplo de la probabilidad de recibir diferentes números de correos electrónicos (eventos) cuando la tasa promedio λ es 5.

0 1 2 3 4 5 6 Número de correos electrónicos (k) La probabilidad P(X=k)

En este gráfico, la altura de cada barra representa la probabilidad de recibir k correos electrónicos. La barra más alta corresponde al número más probable, que está cerca de la tasa promedio λ = 5.

Aplicaciones de la vida real de la distribución de Poisson

La distribución de Poisson se utiliza para modelar datos basados en conteo en varios campos. Aquí hay algunos escenarios de la vida real donde puede aplicarse:

  • Centros de llamadas: pronosticar el número de llamadas telefónicas que se reciben por hora.
  • Salud: Predecir el número de pacientes que llegan a la sala de emergencias.
  • Finanzas: El número de operaciones realizadas en un día por una firma de corretaje
  • Astronomía: Contar meteoritos que golpean un área determinada en la Tierra.
  • Juegos: El número de goles anotados por un equipo en un partido de fútbol.

Propiedades de la distribución de Poisson

La distribución de Poisson tiene varias propiedades que la hacen útil para la probabilidad y la estadística:

  • Distribución discreta: Trata con la probabilidad de variables aleatorias discretas, es decir, es para eventos contables.
  • Media y varianza: En la distribución de Poisson, el número promedio de eventos λ es igual a la varianza. Esta propiedad es única de la distribución de Poisson.
  • Determinada de manera única: la distribución está completamente determinada por un solo parámetro λ.
  • Sin memoria: El número de eventos que ocurren en intervalos de tiempo disjuntos son independientes.
  • Convergencia a la distribución normal: A medida que λ se hace más grande, la distribución de Poisson comienza a parecerse más a una distribución normal, que es una curva en forma de campana.

Limitaciones

Si bien la distribución de Poisson es una herramienta poderosa, tiene algunas limitaciones. Asume que los eventos ocurren de forma independiente y que la tasa promedio es constante con el tiempo. En realidad, estas suposiciones pueden no ser siempre ciertas. Por ejemplo, el número de llamadas a un centro de llamadas puede aumentar inesperadamente durante promociones especiales o emergencias.

En tales casos, puede ser necesario un modelo alternativo para describir la variabilidad. Además, cuando el número de eventos es muy alto o el período de tiempo es muy grande, la distribución de Poisson puede no ser la opción más eficiente, y otras distribuciones como la normal pueden ser más apropiadas.

Conclusión

La distribución de Poisson es un concepto esencial en la probabilidad y la estadística, especialmente cuando necesitamos estimar el número de eventos que ocurren en un cierto intervalo de tiempo o espacio. Con sus propiedades matemáticas únicas, se utiliza en una amplia gama de aplicaciones, desde la ciencia y la ingeniería hasta la economía y la salud.

Al comprender los fundamentos de la distribución de Poisson, puedes modelar mejor los datos y sacar conclusiones prácticas de escenarios complejos del mundo real. Recuerda que es más adecuada para eventos raros e independientes que ocurren a una tasa promedio constante.

Siempre que te encuentres con procesos aleatorios basados en conteos en tus estudios o en la vida cotidiana, piensa en la distribución de Poisson y observa cómo puede ayudarte a hacer predicciones o analizar datos de manera efectiva.


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