Distribuição normal

Quando falamos de probabilidade e estatística, um dos tópicos mais importantes que encontramos é a distribuição normal. É como a pedra angular para vários conceitos e teorias estatísticas. Imagine só, você está olhando para a altura dos alunos em uma turma. A maioria dos alunos estará em torno da altura média, enquanto muito poucos alunos serão muito altos ou muito baixos. Esse tipo de padrão é comum em muitos fenômenos naturais e chamamos isso de distribuição normal.

O que é distribuição normal?

A distribuição normal é um tipo de distribuição de probabilidade contínua para uma variável aleatória de valor real. Às vezes, é informalmente chamada de "curva de sino" por causa de sua forma característica (parecendo um sino). A distribuição normal é simétrica em torno de sua média, indicando que dados próximos à média ocorrem com mais frequência do que dados distantes da média.

Características de uma Distribuição Normal:
1. Simétrica: O lado esquerdo é uma imagem espelhada do lado direito.
2. Em forma de sino: A forma da distribuição é frequentemente referida como em forma de sino.
3. Médias, Mediana e Moda são iguais: Em uma distribuição perfeitamente normal, esses valores são todos iguais e ocorrem no pico mais alto.
4. Definida por dois parâmetros: A média (média) e o desvio padrão (medida de dispersão).

Importância da distribuição normal

A distribuição normal é extremamente importante na estatística e muitas vezes é usada nas ciências naturais e sociais para representar variáveis aleatórias de valor real cuja distribuição não é conhecida. Isso porque:

• Isso fornece a base para a teoria da inferência estatística.
• Descreve com precisão muitos fenômenos do mundo natural.
• As propriedades da distribuição normal tornam-na importante para cálculos em estudos estatísticos.

Representação matemática

A distribuição normal pode ser representada matematicamente usando sua função densidade de probabilidade (PDF). O PDF é uma função que descreve a probabilidade de uma variável aleatória assumir um determinado valor.

A fórmula para a função densidade de probabilidade de uma distribuição normal é:
f(x | μ, σ) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * exp(-(x - μ)² / (2σ²))
Onde:
- μ é a média ou expectativa.
- σ é o desvio padrão.
- π é uma constante (aproximadamente 3.14159).
- exp é a função exponencial.

Entendendo a curva de sino

A curva de sino é uma das razões pelas quais a distribuição normal é famosa. Vamos ver o que a curva representa. O ponto mais alto da curva representa a média, a mediana e a moda, que são exatamente as mesmas em uma distribuição normal.

Desvios padrão determinam a dispersão dos pontos de dados. Quanto maior o desvio padrão, mais larga a curva de sino aparecerá. Um desvio padrão menor resultará em uma curva de sino mais íngreme.

Aplicações da distribuição normal

A distribuição normal não é apenas um conceito abstrato, tem aplicações práticas em várias áreas:

• Em finanças: É usada no modelo de precificação de opções de Black–Scholes e para avaliar a probabilidade de desempenho positivo ou negativo de ações e carteiras.
• Em biologia: É usada para modelar dados biológicos, como altura e leituras de pressão arterial.
• Em controle de qualidade: Empresas utilizam a distribuição normal para entender a variação em seus processos de fabricação.

Exemplos e problemas de prática

Vamos resolver alguns exemplos para entender melhor o conceito de distribuição normal.

Exemplo 1:

Suponha que os pesos das maçãs em um pomar sigam uma distribuição normal com média de 150 g e desvio padrão de 15 g. Qual é a probabilidade de que uma maçã selecionada aleatoriamente pese entre 135 g e 165 g?

Aqui precisamos calcular a probabilidade de que o peso de uma maçã x esteja entre 135 e 165 gramas.
P(135 < x < 165)
Usando tabelas de distribuição normal padrão ou uma calculadora:
z-score = (X - μ) / σ
z(135) = (135 - 150) / 15 = -1
z(165) = (165 - 150) / 15 = 1
Portanto, P(-1 < z < 1) = 0.6826 ou 68.26%
Isso implica que há uma chance de 68,26% de que o peso de uma maçã escolhida aleatoriamente esteja entre 135 e 165 gramas.

Exemplo 2:

Um professor descobriu que as notas dos alunos em um teste são distribuídas normalmente com média de 70 e desvio padrão de 10. Qual é a porcentagem de alunos que obtiveram nota superior a 85?

Aqui, precisamos encontrar a probabilidade de que a pontuação de um aluno x seja maior que 85.
P(x > 85)
z = (X - μ) / σ
z(85) = (85 - 70) / 10 = 1.5
Usando tabelas de distribuição normal padrão:
P(z < 1.5) = 0.9332
Portanto, P(x > 85) = 1 - 0.9332 = 0.0668 ou 6.68%
Assim, 6,68% dos alunos obtiveram nota superior a 85.

Conclusão

A distribuição normal é um conceito fundamental na estatística, importante para análises estatísticas teóricas e aplicadas. Suas propriedades de simetria, média definida e desvio padrão permitem modelar efetivamente uma variedade de fenômenos do mundo real. Seja em exames, fabricação, biologia ou finanças, compreender a distribuição normal ajuda a interpretar dados e tomar decisões informadas. Com suas amplas aplicações e facilidade de uso, dominar a distribuição normal equipa você com uma ferramenta poderosa para analisar dados do mundo real.

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