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सामान्य वितरण
जब हम संभावना और सांख्यिकी की बात करते हैं, तो जिन महत्वपूर्ण विषयों का हम सामना करते हैं उनमें से एक है सामान्य वितरण। यह विभिन्न सांख्यिकीय अवधारणाओं और सिद्धांतों की नींव की तरह है। बस कल्पना करें, आप एक कक्षा में छात्रों की ऊंचाई को देख रहे हैं। अधिकांश छात्र औसत ऊंचाई के आस-पास होंगे, जबकि बहुत कुछ छात्र बहुत ऊँचे या बहुत छोटे होंगे। इस तरह का पैटर्न कई प्राकृतिक घटनाओं में आम है और हम इसे सामान्य वितरण कहते हैं।
सामान्य वितरण क्या है?
सामान्य वितरण एक प्रकार का निरंतर संभावना वितरण होता है एक वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर के लिए। इसे कभी-कभी अनौपचारिक रूप से "घंटी वक्र" कहा जाता है इसके विशेष आकार (जो एक घंटी जैसा दिखता है) के कारण। सामान्य वितरण उसके माध्य के आस-पास सममित होता है, यह संकेत देता है कि माध्य के निकट डेटा अधिक बार होता है बनिस्बत की डेटा माध्य से दूर है।
सामान्य वितरण की विशेषताएँ:
1. सममित: बायाँ पक्ष दाएँ पक्ष का दर्पण प्रतिबिंब होता है।
2. घंटी के आकार का: वितरण का आकार अक्सर घंटी के आकार का कहा जाता है।
3. माध्य, मध्यक, और मोड समान होते हैं: एक पूरी तरह से सामान्य वितरण में, ये सभी मूल्य समान होते हैं और उच्चतम शिखर पर होते हैं।
4. दो मापदंडों द्वारा परिभाषित: माध्य (औसत) और मानक अपवर्तन (फैलाव का माप)।सामान्य वितरण का महत्व
सांख्यिकी में सामान्य वितरण अत्यधिक महत्वपूर्ण है और इसे प्राकृतिक और सामाजिक विज्ञानों में अक्सर वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर के प्रतिनिधित्व के लिए उपयोग किया जाता है जिसकी वितरण अज्ञात है। ऐसा इसलिए है:
- यह सांख्यिकीय अनुसंधान के सिद्धांत के लिए आधार प्रदान करता है।
- यह प्राकृतिक दुनिया की कई घटनाओं का सटीक वर्णन करता है।
- सामान्य वितरण की विशेषताएं इसे सांख्यिकीय अध्ययनों में गणनाओं के लिए महत्वपूर्ण बनाती हैं।
गणितीय अभिव्यक्ति
सामान्य वितरण को उसकी संभावना घनत्व क्रिया (पीडीएफ) का उपयोग करके गणितीय रूप से प्रदर्शित किया जा सकता है। पीडीएफ एक क्रिया है जो किसी यादृच्छिक चर के एक विशेष मान पर होने वाली संभावना का वर्णन करती है।
सामान्य वितरण की संभावना घनत्व क्रिया का सूत्र है:
f(x | μ, σ) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * exp(-(x - μ)² / (2σ²))
जहां:
- μ माध्य या अपेक्षा होती है।
- σ मानक अपवर्तन होता है।
- π एक अभिशापित संख्या होती है (लगभग 3.14159)।
- exp घातीय क्रिया है।घंटी वक्र को समझना
घंटी वक्र सामान्य वितरण के प्रसिद्ध होने के कारणों में से एक है। आइये देखते हैं कि यह वक्र क्या प्रदर्शित करता है। वक्र का उच्चतम बिंदु माध्य, मध्यक, और मोड का प्रतिनिधित्व करता है, जो सामान्य वितरण में बिल्कुल समान होते हैं।
मानक अपवर्तन डेटा बिंदुओं के फैलाव को निर्धारित करते हैं। जितना अधिक मानक अपवर्तन होगा, उतना ही चौड़ा घंटी वक्र दिखाई देगा। एक छोटे मानक अपवर्तन से एक तेज घंटी वक्र प्राप्त होगा।
सामान्य वितरण के अनुप्रयोग
सामान्य वितरण सिर्फ एक अभ्यस्त अवधारणा नहीं है, इसका व्यावहारिक अनुप्रयोग विभिन्न क्षेत्रों में होता है:
- वित्त में: इसका उपयोग ब्लैक-शोल्स विकल्प मूल्य निर्धारण मॉडल में किया जाता है, और स्टॉक और पोर्टफोलियो के सकारात्मक या नकारात्मक प्रदर्शन की संभावना मूल्यांकित करने के लिए किया जाता है।
- जीवविज्ञान में: इसका उपयोग जैविक डेटा को मॉडल करने के लिए किया जाता है, जैसे ऊंचाई और रक्तचाप के पाठ।
- गुणवत्ता नियंत्रण में: कंपनियाँ अपनी निर्माण प्रक्रियाओं में विविधता को समझने के लिए सामान्य वितरण का उपयोग करती हैं।
उदाहरण और अभ्यास समस्याएँ
आइए कुछ उदाहरणों के साथ सामान्य वितरण के अवधारणा को बेहतर तरीके से समझने का प्रयास करें।
उदाहरण 1:
मान लीजिए कि एक बगीचे में सेबों का वजन सामान्य वितरण के साथ 150 ग्राम और मानक अपवर्तन 15 ग्राम है। एक यादृच्छिक रूप से चुने गए सेब का वजन 135 ग्राम और 165 ग्राम के बीच होने की क्या संभावना है?
यहां हमें संभावना की गणना करनी है कि एक सेब का वजन x 135 और 165 ग्राम के बीच है।
P(135 < x < 165)
=मानक सामान्य वितरण तालिकाओं या एक कैलकुलेटर का उपयोग करके:
z-score = (X - μ) / σ
z(135) = (135 - 150) / 15 = -1
z(165) = (165 - 150) / 15 = 1
इसलिए, P(-1 < z < 1) = 0.6826 या 68.26%
यह इंगित करता है कि यह 68.26% संभावना है कि एक यादृच्छिक रूप से चुने गए सेब का वजन 135 और 165 ग्राम के बीच है।उदाहरण 2:
एक शिक्षक ने अपनी कक्षा में छात्रों के एक परीक्षा के अंक सामान्य वितरण के तहत पाए, जिसमें माध्य 70 और मानक अपवर्तन 10 था। छात्रों का कौन प्रतिशत 85 अंक से अधिक प्राप्त किया?
यहाँ, हमें संभवतः छात्र के अंक x को 85 से अधिक होने की संभावना की गणना करनी है।
P(x > 85)
z = (X - μ) / σ
z(85) = (85 - 70) / 10 = 1.5
=मानक सामान्य वितरण तालिकाओं का उपयोग करके:
P(z < 1.5) = 0.9332
इसलिए, P(x > 85) = 1 - 0.9332 = 0.0668 या 6.68%
इसलिए, 6.68% छात्र 85 से अधिक अंक प्राप्त किए।निष्कर्ष
सामान्य वितरण सांख्यिकी में एक मौलिक अवधारणा है, जो सैद्धांतिक और व्यावहारिक सांख्यिकी विश्लेषण के लिए महत्वपूर्ण है। इसकी सममिति, परिभाषित माध्य और मानक अपवर्तन इसे विभिन्न वास्तविक दुनिया के घटनाओं को प्रभावी रूप से मॉडल करने की अनुमति देता है। चाहे वह परीक्षा, निर्माण, जीवविज्ञान या वित्त में हो, सामान्य वितरण को समझने से डेटा की व्याख्या और सूचित निर्णय लेने में मदद मिलती है। इसके व्यापक अनुप्रयोग और उपयोग में आसानी के साथ, सामान्य वितरण में महारत हासिल करना आपको वास्तविक दुनिया डेटा का विश्लेषण करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण प्रदान करता है।
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