Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Distribución normal


Cuando hablamos de probabilidad y estadística, uno de los temas más importantes con los que nos encontramos es la distribución normal. Es como la piedra angular para varios conceptos y teorías estadísticas. Solo imagina, estás observando la altura de los estudiantes en una clase. La mayoría de los estudiantes estarán alrededor de la altura promedio, mientras que muy pocos estudiantes serán muy altos o muy bajos. Este tipo de patrón es común en muchos fenómenos naturales y lo llamamos distribución normal.

¿Qué es la distribución normal?

La distribución normal es un tipo de distribución de probabilidad continua para una variable aleatoria de valor real. Se la llama informalmente "curva de campana" debido a su forma distintiva (que se asemeja a una campana). La distribución normal es simétrica respecto a su media, lo que indica que los datos cercanos a la media ocurren con más frecuencia que los datos lejanos de la media.

Características de una distribución normal:
1. Simétrica: El lado izquierdo es una imagen en espejo del lado derecho.
2. Forma de campana: La forma de la distribución a menudo se refiere como forma de campana.
3. Media, Mediana y Moda son iguales: En una distribución perfectamente normal, estos valores son todos iguales y ocurren en el punto más alto.
4. Definida por dos parámetros: La media (promedio) y la desviación estándar (medida de dispersión).
Significado

Importancia de la distribución normal

La distribución normal es extremadamente importante en estadística y se utiliza a menudo en las ciencias naturales y sociales para representar variables aleatorias de valor real cuya distribución no se conoce. Esto se debe a que:

  • Proporciona la base para la teoría de la inferencia estadística.
  • Describe con precisión muchos fenómenos del mundo natural.
  • Las propiedades de la distribución normal la hacen importante para los cálculos en estudios estadísticos.

Representación matemática

La distribución normal puede representarse matemáticamente utilizando su función de densidad de probabilidad (PDF). La PDF es una función que describe la probabilidad de que una variable aleatoria tome un valor particular.

La fórmula para la función de densidad de probabilidad de una distribución normal es:
f(x | μ, σ) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * exp(-(x - μ)² / (2σ²))
Donde:
- μ es la media o expectativa.
- σ es la desviación estándar.
- π es una constante (aproximadamente 3.14159).
- exp es la función exponencial.

Comprendiendo la curva de campana

La curva de campana es una de las razones por las que la distribución normal es famosa. Veamos qué representa la curva. El punto más alto en la curva representa la media, mediana y moda, que son exactamente iguales en una distribución normal.

Las desviaciones estándar determinan la dispersión de los puntos de datos. Cuanto mayor es la desviación estándar, más amplia parecerá la curva de campana. Una desviación estándar más pequeña resultará en una curva de campana más empinada.

Significado -1σ +1σ

Aplicaciones de la distribución normal

La distribución normal no es solo un concepto abstracto, tiene aplicaciones prácticas en varios campos:

  • En finanzas: Se utiliza en el modelo de precio de opciones Black–Scholes, y para evaluar la probabilidad de rendimiento positivo o negativo de acciones y carteras.
  • En biología: Se utiliza para modelar datos biológicos, como la altura y las mediciones de presión arterial.
  • En control de calidad: Las empresas utilizan la distribución normal para comprender la variación en sus procesos de fabricación.

Ejemplos y problemas de práctica

Trabajemos algunos ejemplos para comprender mejor el concepto de distribución normal.

Ejemplo 1:

Supongamos que los pesos de las manzanas en un huerto siguen una distribución normal con una media de 150 g y una desviación estándar de 15 g. ¿Cuál es la probabilidad de que una manzana seleccionada al azar pese entre 135 g y 165 g?

Aquí necesitamos calcular la probabilidad de que el peso de una manzana x esté entre 135 y 165 gramos.
P(135 < x < 165)
Usando tablas de distribución normal estándar o una calculadora:
puntuación z = (X - μ) / σ
z(135) = (135 - 150) / 15 = -1
z(165) = (165 - 150) / 15 = 1
Por lo tanto, P(-1 < z < 1) = 0.6826 o 68.26%
Esto implica que hay un 68.26% de probabilidad de que el peso de una manzana seleccionada al azar esté entre 135 y 165 gramos.

Ejemplo 2:

Una maestra encontró que las notas de sus estudiantes en una prueba están distribuidas normalmente con una media de 70 y una desviación estándar de 10. ¿Cuál es el porcentaje de estudiantes que obtuvieron más de 85 puntos?

Aquí, necesitamos encontrar la probabilidad de que la puntuación de un estudiante x sea mayor de 85.
P(x > 85)
z = (X - μ) / σ
z(85) = (85 - 70) / 10 = 1.5
Usando tablas de distribución normal estándar:
P(z < 1.5) = 0.9332
Por lo tanto, P(x > 85) = 1 - 0.9332 = 0.0668 o 6.68%
Así, el 6.68% de los estudiantes obtuvieron más de 85 puntos.

Conclusión

La distribución normal es un concepto fundamental en estadística, importante para el análisis estadístico teórico y aplicado. Sus propiedades de simetría, media definida y desviación estándar le permiten modelar eficazmente una variedad de fenómenos del mundo real. Ya sea en exámenes, fabricación, biología o finanzas, entender la distribución normal ayuda a interpretar los datos y tomar decisiones informadas. Con sus amplias aplicaciones y facilidad de uso, dominar la distribución normal te equipa con una herramienta poderosa para analizar datos del mundo real.


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