Класс 11
  1. Алгебра  1.1. Понимание последовательностей и рядов в алгебре  1.1.1. Понимание арифметических последовательностей  1.1.2. Арифметические прогрессии  1.1.3. Понимание геометрических последовательностей  1.1.4. Понимание геометрических рядов  1.1.5. Сходимость и расходимость  1.1.6. Понимание "суммы до бесконечности" в алгебре  1.1.7. Обозначение Сигма  1.2. Комплексные числа  1.2.1. Понимание мнимых и комплексных чисел  1.2.2. Операции с комплексными числами  1.2.3. Полярная и декартова формы комплексных чисел  1.2.4. Комплексные сопряженные  1.2.5. Модуль и аргумент  1.2.6. Теорема Муавра  1.2.7. Степени и корни комплексных чисел  1.3. Бином Ньютона  1.3.1. Расширение бинома  1.3.2. Общие термины в биномиальной теореме  1.3.3. Биномиальный коэффициент  1.3.4. Применения биномиальной теоремы  1.3.5. Треугольник Паскаля
  2. Функции и графики  2.1. Типы задач  2.1.1. Полиномиальная функция  2.1.2. Рациональные функции  2.1.3. Экспоненциальная функция  2.1.4. Логарифмическая функция  2.1.5. Тригонометрические функции  2.1.6. Поштучная работа  2.2. Преобразование функций  2.2.1. Перевод  2.2.2. Понимание отражений в преобразованиях функций  2.2.3. Растяжение и растяжение  2.2.4. Понимание вращения в функциях и графиках  2.3. Обратная функция  2.3.1. Нахождение обратной функции  2.3.2. Графики обратных функций  2.3.3. Свойства обратных функций  2.3.4. Ограничения для обратных функций
  3. Тригонометрия  3.1. Тригонометрические отношения и идентичности  3.1.1. Основные тригонометрические отношения  3.1.2. Понимание пифагорейских тождеств в тригонометрии  3.1.3. Формулы суммы и разности углов  3.1.4. Формула двойного угла  3.1.5. Понимание формул половинного угла в тригонометрии  3.1.6. Формулы произведения к сумме и суммы к произведению  3.2. Тригонометрические уравнения  3.2.1. Решение тригонометрических уравнений  3.2.2. Общие решения в тригонометрических уравнениях  3.3. Графики тригонометрических функций  3.3.1. График синуса  3.3.2. Понимание графика косинуса  3.3.3. График тангенса  3.3.4. Регулировка амплитуды и длительности  3.3.5. Фазовое изменение на графике тригонометрических функций  3.4. Применение тригонометрии  3.4.1. Законы синусов и косинусов  3.4.2. Площадь треугольников  3.4.3. Решение треугольников  3.4.4. Подшипники и навигация
  4. Введение в математический анализ  4.1. Понимание пределов и непрерывности в математическом анализе  4.1.1. Понятие предела  4.1.2. Односторонние пределы  4.1.3. Понимание пределов на бесконечности в математическом анализе  4.1.4. Непрерывность функции  4.1.5. Типы разрывов  4.2. Дискриминация  4.2.1. Определение производной  4.2.2. Правила дифференцирования  4.2.3. Производные высшего порядка  4.2.4. Правило цепи  4.2.5. Правило произведения  4.2.6. Понимание правила частного в математическом анализе  4.3. Применение дифференцирования  4.3.1. Скорость изменения  4.3.2. Касательная и нормаль  4.3.3. Максимум и минимум  4.3.4. Понимание возрастающих и убывающих функций  4.3.5. Задачи оптимизации  4.3.6. График кривой  4.3.7. Связанные скорости в применениях дифференцирования  4.4. Что такое интеграция?  4.4.1. Первообразные  4.4.2. Неопределенный интеграл  4.4.3. Определенный интеграл  4.4.4. Основная теорема анализа  4.4.5. Техники интеграции  4.4.6. Понимание площади под кривой в интегрировании  4.5. Применения интегрирования  4.5.1. Площадь между кривыми  4.5.2. Объемы тел вращения  4.5.3. Понимание среднего значения функции в математическом анализе
  5. Векторы и матрицы  5.1. Векторы  5.1.1. Введение  5.1.2. Операции с векторами  5.1.3. Понимание скалярного произведения  5.1.4. Векторное произведение  5.1.5. Применение в геометрии  5.1.6. Проекция векторов  5.2. Матрицы  5.2.1. Типы матриц  5.2.2. Понимание операций с матрицами  5.2.3. Определители  5.2.4. Обратная матрица  5.2.5. Решение систем линейных уравнений  5.2.6. Правило Крамера
  6. Вероятность и статистика  6.1. Понимание вероятности в математике  6.1.1. Основные понятия вероятности  6.1.2. Условная вероятность  6.1.3. Введение в независимые и зависимые события в теории вероятностей  6.1.4. Теорема Байеса  6.1.5. Комбинаторная вероятность  6.2. Случайные величины  6.2.1. Дискретная случайная величина  6.2.2. Непрерывная случайная величина  6.2.3. Распределения вероятностей  6.3. Распределения вероятностей  6.3.1. Понимание биномиального распределения  6.3.2. Нормальное распределение  6.3.3. Распределение Пуассона  6.3.4. Равномерное распределение  6.4. Фигуры  6.4.1. Меры центральной тенденции  6.4.2. Меры разброса  6.4.3. Сбор и представление данных  6.4.4. Корреляция и Регрессия  6.4.5. Техники выборки
  7. Координатная геометрия  7.1. Прямые линии в координатной геометрии  7.1.1. Форма наклона и пересечения в координатной геометрии  7.1.2. Формула расстояния в прямых линиях  7.1.3. Понимание формулы средней точки в координатной геометрии  7.1.4. Угол между линиями  7.1.5. Уравнение прямых  7.2. Конические сечения  7.2.1. Круг  7.2.2. Введение в параболы  7.2.3. Эллипс в коническом сечении  7.2.4. Понимание гиперболы в конических сечениях  7.2.5. Свойства конических сечений  7.2.6. Параметрические уравнения конусов  7.2.7. Полярные координаты коник
  8. Арифметическая логика  8.1. Введение в логику в математической логике  8.1.1. Утверждения и логические связки  8.1.2. Таблицы истинности  8.1.3. Логическое равенство  8.1.4. Кванторы в логике и математической логике  8.1.5. Методы доказательств  8.2. Понимание доказательств в математической логике  8.2.1. Прямое доказательство  8.2.2. Косвенные доказательства  8.2.3. Понимание доказательства от противного  8.2.4. Доказательство по математической индукции

Класс 11 → Вероятность и статистика → Распределения вероятностей ↓


Понимание биномиального распределения


Биномиальное распределение является основным распределением вероятностей в области теории вероятностей и статистики. Оно часто используется для моделирования количества успехов в заданном количестве независимых испытаний Бернулли, каждое из которых имеет одинаковую вероятность успеха. Прежде чем углубляться в его тонкости, давайте разберемся с некоторыми основными понятиями и будем работать с ними шаг за шагом.

Основные термины и концепции

Испытание Бернулли

Испытание Бернулли - это эксперимент или процедура, результаты которого представляют собой бинарный исход – успех или неудача. Примеры испытаний Бернулли включают подбрасывание монеты (где орел может быть определен как успех, а решка как неудача) или проверку работоспособности лампочки (либо работает, либо нет).

Независимое тестирование

Когда испытания независимы, результат одного испытания не влияет на результат другого. Множественное подбрасывание монеты, если монета честная, служит примером, где каждое подбрасывание не влияет на следующее.

Шансы на успех

Вероятность успеха обозначается как "p". Для испытания Бернулли, такого как подбрасывание монеты, если монета честная, вероятность получения орла (успеха) составляет 0,5.

Количество испытаний (n)

Это обозначает общее количество испытаний Бернулли. Если вы подбросите монету 5 раз, n = 5.

Количество успехов (k)

Это условное число успехов, вероятность которого мы хотим вычислить. Например, если мы хотим узнать вероятность получения орла 3 раза при подбрасывании 5 монет, тогда значение k будет равно 3.

Интерпретация биномиального распределения

В биномиальном распределении нас интересует вероятность того, что ровно k успехов произойдут в n независимых испытаниях Бернулли, каждое из которых имеет вероятность успеха p. Формула биномиального распределения представлена следующим образом:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

Здесь, C(n, k) - это формула сочетаний, также известная как "n выберите k", и вычисляется следующим образом:

C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)

Где:

  • n! (факториал n) является произведением всех положительных целых чисел до n.
  • k! (факториал k) является произведением всех положительных целых чисел до k.
  • Фактор (n-k)! является факториалом (n-k).

Примеры из реального мира

Пример 1: Подбрасывание монеты

Предположим, вы подбрасываете честную монету 4 раза. Какова вероятность получить орла ровно 2 раза?

  • Количество испытаний, n = 4
  • Вероятность успеха, p = 0.5
  • Количество успехов, k = 2

Вероятность рассчитывается следующим образом:

P(X = 2) = C(4, 2) * (0.5)^2 * (1-0.5)^(4-2)

Вычесление C(4, 2) :

C(4, 2) = 4! / (2!(4-2)!) = (4 * 3) / (2 * 1) = 6

Таким образом,

P(X = 2) = 6 * 0.25 * 0.25 = 0.375

Следовательно, вероятность получить орла ровно 2 раза при подбрасывании честной монеты 4 раза составляет 37.5%.

Пример 2: Контроль качества на производстве

Завод производит лампочки с дефектом 2%. Если инспектор по контролю качества выберет 10 лампочек случайным образом, какова вероятность, что точно 1 лампочка окажется дефектной?

  • Количество испытаний, n = 10
  • Вероятность успеха (дефектная), p = 0.02
  • Количество успехов, k = 1

Вероятность рассчитывается следующим образом:

P(X = 1) = C(10, 1) * (0.02)^1 * (1-0.02)^(10-1)

Вычесление C(10, 1) :

C(10, 1) = 10! / (1!(10-1)!) = 10

Таким образом,

P(X = 1) = 10 * 0.02 * 0.98^9 ≈ 0.169746

Следовательно, есть около 16.97% шанса, что ровно 1 из 10 лампочек будет дефектной.

Визуальное представление

Для лучшего понимания биномиального распределения рассмотрите график SVG, показывающий вероятность распределения получения k успехов в n испытаниях с различными вероятностями.

0 1 2 3 4 0 0.1 0.2 0.3

На этом графике высота каждого бруска представляет вероятность получения 0 до 4 успехов в 4 попытках с вероятностью 0.5 успеха для каждой попытки.

Свойства биномиального распределения

Понимание фундаментальных свойств биномиального распределения может углубить ваше понимание и помочь применять его в различных сценариях:

Среднее значение и дисперсия

  • Среднее значение (среднее количество успехов) для биномиального распределения определяется как μ = n * p.
  • Дисперсия (мера разброса) для биномиального распределения определяется как σ² = n * p * (1 - p).

Симметрия и асимметрия

Биномиальное распределение может быть симметричным или асимметричным в зависимости от значения p:

  • Если p = 0.5, распределение симметрично.
  • Если p < 0.5, распределение отрицательно асимметрично.
  • Если p > 0.5, распределение положительно асимметрично.

Связь с другими распределениями

Биномиальное распределение - это дискретное распределение вероятностей, тесно связанное с нормальным распределением. По мере увеличения числа n (количества испытаний), биномиальное распределение приближается к нормальному распределению, что является важным аспектом центральной предельной теоремы.

Заключение

Биномиальное распределение, как дискретное распределение вероятностей, очень полезно для моделирования бинарных исходов во многих областях, таких как контроль качества, финансы и любая ситуация, связанная с успехом/неудачей в серии испытаний. Его явная формула и простые свойства делают его важным инструментом для понимания вероятности и статистической индукции.

Хотя это только начало в изучении биномиального распределения, это базовое понимание обеспечивает основу, на которой можно строить более сложные статистические модели. Главное - распознать его приложения и понять, как честная и справедливая оценка испытаний Бернулли может предоставить важные инсайты как в научных исследованиях, так и в практических приложениях.


Класс 11 → 6.3.1


U
username
0%
завершено в Класс 11

← предыдущая (6.3)
Распределения вероятностей
следующая (6.3.2) →
Нормальное распределение

комментарии 



Понимание биномиального распределения

https://www.buddymath.com/g11/6.3.1?bmal=ru