11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

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Compreendendo a distribuição binomial


A distribuição binomial é uma distribuição de probabilidade fundamental no campo de probabilidade e estatística. Ela é frequentemente usada para modelar o número de sucessos em um determinado número de ensaios de Bernoulli independentes, cada um dos quais possui a mesma probabilidade de sucesso. Antes de entrar em suas complexidades, vamos entender alguns conceitos básicos e trabalhar neles passo a passo.

Termos e conceitos básicos

Ensaio de Bernoulli

Um ensaio de Bernoulli é um experimento ou procedimento que resulta em um resultado binário - sucesso ou fracasso. Exemplos de ensaios de Bernoulli incluem jogar uma moeda (onde cara pode ser definido como sucesso e coroa como fracasso) ou determinar se uma lâmpada está funcional (ou funciona ou não).

Testes independentes

Quando os ensaios são independentes, o resultado de um ensaio não afeta o resultado de outro ensaio. Jogar uma moeda várias vezes, assumindo que a moeda é justa, é um exemplo onde cada lance não afeta o próximo.

Chances de sucesso

A probabilidade de sucesso é denotada por "p". Para um ensaio de Bernoulli, como um lance de moeda, se a moeda for justa, a probabilidade de obter cara (sucesso) é 0,5.

Número de ensaios (n)

Isto representa o número total de ensaios de Bernoulli. Se você jogar uma moeda 5 vezes, n = 5.

Número de sucessos (k)

Este é o número imaginário de sucessos cuja probabilidade queremos calcular. Por exemplo, se quisermos saber a probabilidade de obter cara 3 vezes quando jogamos 5 moedas, então o valor de k seria 3.

Interpretação da distribuição binomial

Na distribuição binomial, estamos interessados em encontrar a probabilidade de obter exatamente k sucessos em n ensaios de Bernoulli independentes, cada um dos quais possui uma probabilidade de sucesso p. A fórmula da distribuição binomial é dada como:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

Aqui, C(n, k) é uma fórmula de combinação, também conhecida como "n escolher k", e é calculada da seguinte forma:

C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)

Onde:

  • n! (n fatorial) é o produto de todos os inteiros positivos até n.
  • k! (k fatorial) é o produto de todos os inteiros positivos até k.
  • O fator (n-k)! é o fatorial de (n-k).

Exemplos do mundo real

Exemplo 1: Jogando uma moeda

Suponha que você jogue uma moeda justa 4 vezes. Qual é a probabilidade de obter cara exatamente 2 vezes?

  • Número de ensaios, n = 4
  • Probabilidade de sucesso, p = 0,5
  • Número de sucessos, k = 2

A probabilidade é calculada da seguinte forma:

P(X = 2) = C(4, 2) * (0.5)^2 * (1-0.5)^(4-2)

Calculando C(4, 2) :

C(4, 2) = 4! / (2!(4-2)!) = (4 * 3) / (2 * 1) = 6

Assim,

P(X = 2) = 6 * 0.25 * 0.25 = 0.375

Portanto, a probabilidade de obter cara exatamente 2 vezes quando uma moeda justa é jogada 4 vezes é 37,5%.

Exemplo 2: Controle de qualidade na fabricação

Uma fábrica produz lâmpadas com uma taxa de defeito de 2%. Se um inspetor de controle de qualidade escolher 10 lâmpadas aleatoriamente, qual é a probabilidade de que exatamente 1 lâmpada esteja defeituosa?

  • Número de ensaios, n = 10
  • Probabilidade de sucesso (defeito), p = 0,02
  • Número de sucessos, k = 1

A probabilidade é calculada da seguinte forma:

P(X = 1) = C(10, 1) * (0.02)^1 * (1-0.02)^(10-1)

Calculando C(10, 1) :

C(10, 1) = 10! / (1!(10-1)!) = 10

Assim,

P(X = 1) = 10 * 0.02 * 0.98^9 ≈ 0.169746

Portanto, há cerca de 16,97% de chance de que exatamente 1 em 10 lâmpadas esteja defeituosa.

Representação visual

Para entender melhor a distribuição binomial, considere um gráfico SVG mostrando a distribuição de probabilidade de obter k sucessos em n ensaios com diferentes probabilidades.

0 1 2 3 4 0 0.1 0.2 0.3

Neste gráfico, a altura de cada barra representa a probabilidade de obter 0 a 4 sucessos em 4 tentativas, com uma probabilidade de 0,5 de sucesso para cada tentativa.

Propriedades da distribuição binomial

Compreender as propriedades fundamentais da distribuição binomial pode aprofundar seu entendimento e ajudá-lo a aplicá-la em diferentes cenários:

Média e variância

  • A média (número médio de sucessos) para a distribuição binomial é dada por μ = n * p.
  • A variância (medida de dispersão) para a distribuição binomial é dada por σ² = n * p * (1 - p).

Simetria e assimetria

A distribuição binomial pode ser simétrica ou assimétrica, dependendo do valor de p:

  • Se p = 0,5, então a distribuição é simétrica.
  • Se p < 0,5, então a distribuição é negativamente assimétrica.
  • Se p > 0,5, então a distribuição é positivamente assimétrica.

Relação com outras distribuições

A distribuição binomial é uma distribuição de probabilidade discreta, intimamente relacionada à distribuição normal. À medida que n (o número de ensaios) se torna muito grande, a distribuição binomial se aproxima de uma distribuição normal, o que é um aspecto importante do teorema central do limite.

Conclusão

A distribuição binomial, como uma distribuição de probabilidade discreta, é altamente útil para modelar resultados binários em muitas áreas, como controle de qualidade, finanças e qualquer cenário envolvendo sucesso/fracasso em uma série de testes. Sua fórmula explícita e propriedades diretas a tornam uma ferramenta importante na compreensão de probabilidade e inferência estatística.

Embora este seja apenas o começo da exploração da distribuição binomial, esse entendimento básico fornece uma base sobre a qual modelos estatísticos mais complexos podem ser construídos. O importante é reconhecer suas aplicações e entender como uma avaliação justa e equitativa dos ensaios de Bernoulli pode fornecer insights importantes tanto na pesquisa científica quanto em aplicações práticas.


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