Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Comprendiendo la distribución binomial


La distribución binomial es una distribución de probabilidad fundamental en el campo de la probabilidad y la estadística. Se utiliza a menudo para modelar el número de éxitos en un número dado de ensayos de Bernoulli independientes, cada uno de los cuales tiene la misma probabilidad de éxito. Antes de entrar en sus complejidades, comprendamos algunos conceptos básicos y trabajemos en ellos paso a paso.

Términos y conceptos básicos

Ensayo de Bernoulli

Un ensayo de Bernoulli es un experimento o procedimiento que resulta en un resultado binario: éxito o fracaso. Ejemplos de ensayos de Bernoulli incluyen lanzar una moneda (donde cara puede definirse como éxito y cruz como fracaso) o determinar si una bombilla está funcional (ya sea que funcione o no).

Pruebas independientes

Cuando los ensayos son independientes, el resultado de un ensayo no afecta el resultado de otro ensayo. Lanzar una moneda varias veces, suponiendo que la moneda sea justa, es un ejemplo donde cada lanzamiento no afecta al siguiente.

Probabilidades de éxito

La probabilidad de éxito se denota por "p". Para un ensayo de Bernoulli como el lanzamiento de una moneda, si la moneda es justa, la probabilidad de obtener cara (éxito) es 0.5.

Número de ensayos (n)

Esto representa el número total de ensayos de Bernoulli. Si lanzas una moneda 5 veces, n = 5.

Número de éxitos (k)

Este es el número imaginario de éxitos cuya probabilidad queremos calcular. Por ejemplo, si queremos saber la probabilidad de obtener cara 3 veces cuando lanzamos 5 monedas, entonces el valor de k sería 3.

Interpretación de la distribución binomial

En la distribución binomial, estamos interesados en encontrar la probabilidad de obtener exactamente k éxitos en n ensayos de Bernoulli independientes, cada uno de los cuales tiene una probabilidad de éxito p. La fórmula de la distribución binomial se da como:

P(X = k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)

Aquí, C(n, k) es una fórmula de combinación, también conocida como "n elige k", y se calcula de la siguiente manera:

C(n, k) = n! / (k!(n-k)!)

Donde:

  • n! (n factorial) es el producto de todos los enteros positivos hasta n.
  • k! (k factorial) es el producto de todos los enteros positivos hasta k.
  • El factor (n-k)! es el factorial de (n-k).

Ejemplos del mundo real

Ejemplo 1: Lanzar una moneda

Supongamos que lanzas una moneda justa 4 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que obtengas cara exactamente 2 veces?

  • Número de ensayos, n = 4
  • Probabilidad de éxito, p = 0.5
  • Número de éxitos, k = 2

La probabilidad se calcula de la siguiente manera:

P(X = 2) = C(4, 2) * (0.5)^2 * (1-0.5)^(4-2)

Calculando C(4, 2) :

C(4, 2) = 4! / (2!(4-2)!) = (4 * 3) / (2 * 1) = 6

Por lo tanto,

P(X = 2) = 6 * 0.25 * 0.25 = 0.375

Por lo tanto, la probabilidad de obtener cara exactamente 2 veces cuando se lanza una moneda justa 4 veces es 37.5%.

Ejemplo 2: Control de calidad en la fabricación

Una fábrica produce bombillas con una tasa de defectos del 2%. Si un inspector de control de calidad elige al azar 10 bombillas, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 1 bombilla esté defectuosa?

  • Número de ensayos, n = 10
  • Probabilidad de éxito (defectuoso), p = 0.02
  • Número de éxitos, k = 1

La probabilidad se calcula de la siguiente manera:

P(X = 1) = C(10, 1) * (0.02)^1 * (1-0.02)^(10-1)

Calculando C(10, 1) :

C(10, 1) = 10! / (1!(10-1)!) = 10

Por lo tanto,

P(X = 1) = 10 * 0.02 * 0.98^9 ≈ 0.169746

Por lo tanto, hay aproximadamente un 16.97% de probabilidad de que exactamente 1 de cada 10 bombillas esté defectuosa.

Representación visual

Para comprender mejor la distribución binomial, considera el gráfico SVG que muestra la distribución de probabilidad de obtener k éxitos en n ensayos con diferentes probabilidades.

0 1 2 3 4 0 0.1 0.2 0.3

En este gráfico, la altura de cada barra representa la probabilidad de obtener de 0 a 4 éxitos en 4 intentos, con una probabilidad de 0.5 de éxito para cada intento.

Propiedades de la distribución binomial

Comprender las propiedades fundamentales de la distribución binomial puede profundizar tu comprensión y ayudarte a aplicarla en diferentes escenarios:

Media y varianza

  • La media (número promedio de éxitos) para la distribución binomial se da por μ = n * p.
  • La varianza (medida de dispersión) para la distribución binomial se da por σ² = n * p * (1 - p).

Simetría y asimetría

La distribución binomial puede ser simétrica o asimétrica dependiendo del valor de p:

  • Si p = 0.5, entonces la distribución es simétrica.
  • Si p < 0.5, entonces la distribución es asimétrica negativa.
  • Si p > 0.5, entonces la distribución es asimétrica positiva.

Relación con otras distribuciones

La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta, estrechamente relacionada con la distribución normal. A medida que n (el número de ensayos) se vuelve muy grande, la distribución binomial se aproxima a una distribución normal, lo cual es un aspecto importante del teorema central del límite.

Conclusión

La distribución binomial, como una distribución de probabilidad discreta, es muy útil para modelar resultados binarios en muchas áreas, como el control de calidad, las finanzas y cualquier escenario que involucre éxito/fracaso en una serie de pruebas. Su fórmula explícita y propiedades sencillas la hacen una herramienta importante para comprender la probabilidad y la inferencia estadística.

Aunque este es solo el comienzo de la exploración de la distribución binomial, esta comprensión básica proporciona una base sobre la cual se pueden construir modelos estadísticos más complejos. La clave es reconocer sus aplicaciones y entender cómo una evaluación justa y equitativa de los ensayos de Bernoulli puede proporcionar importantes perspectivas tanto en la investigación científica como en las aplicaciones prácticas.


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