Класс 11
  1. Алгебра  1.1. Понимание последовательностей и рядов в алгебре  1.1.1. Понимание арифметических последовательностей  1.1.2. Арифметические прогрессии  1.1.3. Понимание геометрических последовательностей  1.1.4. Понимание геометрических рядов  1.1.5. Сходимость и расходимость  1.1.6. Понимание "суммы до бесконечности" в алгебре  1.1.7. Обозначение Сигма  1.2. Комплексные числа  1.2.1. Понимание мнимых и комплексных чисел  1.2.2. Операции с комплексными числами  1.2.3. Полярная и декартова формы комплексных чисел  1.2.4. Комплексные сопряженные  1.2.5. Модуль и аргумент  1.2.6. Теорема Муавра  1.2.7. Степени и корни комплексных чисел  1.3. Бином Ньютона  1.3.1. Расширение бинома  1.3.2. Общие термины в биномиальной теореме  1.3.3. Биномиальный коэффициент  1.3.4. Применения биномиальной теоремы  1.3.5. Треугольник Паскаля
  2. Функции и графики  2.1. Типы задач  2.1.1. Полиномиальная функция  2.1.2. Рациональные функции  2.1.3. Экспоненциальная функция  2.1.4. Логарифмическая функция  2.1.5. Тригонометрические функции  2.1.6. Поштучная работа  2.2. Преобразование функций  2.2.1. Перевод  2.2.2. Понимание отражений в преобразованиях функций  2.2.3. Растяжение и растяжение  2.2.4. Понимание вращения в функциях и графиках  2.3. Обратная функция  2.3.1. Нахождение обратной функции  2.3.2. Графики обратных функций  2.3.3. Свойства обратных функций  2.3.4. Ограничения для обратных функций
  3. Тригонометрия  3.1. Тригонометрические отношения и идентичности  3.1.1. Основные тригонометрические отношения  3.1.2. Понимание пифагорейских тождеств в тригонометрии  3.1.3. Формулы суммы и разности углов  3.1.4. Формула двойного угла  3.1.5. Понимание формул половинного угла в тригонометрии  3.1.6. Формулы произведения к сумме и суммы к произведению  3.2. Тригонометрические уравнения  3.2.1. Решение тригонометрических уравнений  3.2.2. Общие решения в тригонометрических уравнениях  3.3. Графики тригонометрических функций  3.3.1. График синуса  3.3.2. Понимание графика косинуса  3.3.3. График тангенса  3.3.4. Регулировка амплитуды и длительности  3.3.5. Фазовое изменение на графике тригонометрических функций  3.4. Применение тригонометрии  3.4.1. Законы синусов и косинусов  3.4.2. Площадь треугольников  3.4.3. Решение треугольников  3.4.4. Подшипники и навигация
  4. Введение в математический анализ  4.1. Понимание пределов и непрерывности в математическом анализе  4.1.1. Понятие предела  4.1.2. Односторонние пределы  4.1.3. Понимание пределов на бесконечности в математическом анализе  4.1.4. Непрерывность функции  4.1.5. Типы разрывов  4.2. Дискриминация  4.2.1. Определение производной  4.2.2. Правила дифференцирования  4.2.3. Производные высшего порядка  4.2.4. Правило цепи  4.2.5. Правило произведения  4.2.6. Понимание правила частного в математическом анализе  4.3. Применение дифференцирования  4.3.1. Скорость изменения  4.3.2. Касательная и нормаль  4.3.3. Максимум и минимум  4.3.4. Понимание возрастающих и убывающих функций  4.3.5. Задачи оптимизации  4.3.6. График кривой  4.3.7. Связанные скорости в применениях дифференцирования  4.4. Что такое интеграция?  4.4.1. Первообразные  4.4.2. Неопределенный интеграл  4.4.3. Определенный интеграл  4.4.4. Основная теорема анализа  4.4.5. Техники интеграции  4.4.6. Понимание площади под кривой в интегрировании  4.5. Применения интегрирования  4.5.1. Площадь между кривыми  4.5.2. Объемы тел вращения  4.5.3. Понимание среднего значения функции в математическом анализе
  5. Векторы и матрицы  5.1. Векторы  5.1.1. Введение  5.1.2. Операции с векторами  5.1.3. Понимание скалярного произведения  5.1.4. Векторное произведение  5.1.5. Применение в геометрии  5.1.6. Проекция векторов  5.2. Матрицы  5.2.1. Типы матриц  5.2.2. Понимание операций с матрицами  5.2.3. Определители  5.2.4. Обратная матрица  5.2.5. Решение систем линейных уравнений  5.2.6. Правило Крамера
  6. Вероятность и статистика  6.1. Понимание вероятности в математике  6.1.1. Основные понятия вероятности  6.1.2. Условная вероятность  6.1.3. Введение в независимые и зависимые события в теории вероятностей  6.1.4. Теорема Байеса  6.1.5. Комбинаторная вероятность  6.2. Случайные величины  6.2.1. Дискретная случайная величина  6.2.2. Непрерывная случайная величина  6.2.3. Распределения вероятностей  6.3. Распределения вероятностей  6.3.1. Понимание биномиального распределения  6.3.2. Нормальное распределение  6.3.3. Распределение Пуассона  6.3.4. Равномерное распределение  6.4. Фигуры  6.4.1. Меры центральной тенденции  6.4.2. Меры разброса  6.4.3. Сбор и представление данных  6.4.4. Корреляция и Регрессия  6.4.5. Техники выборки
  7. Координатная геометрия  7.1. Прямые линии в координатной геометрии  7.1.1. Форма наклона и пересечения в координатной геометрии  7.1.2. Формула расстояния в прямых линиях  7.1.3. Понимание формулы средней точки в координатной геометрии  7.1.4. Угол между линиями  7.1.5. Уравнение прямых  7.2. Конические сечения  7.2.1. Круг  7.2.2. Введение в параболы  7.2.3. Эллипс в коническом сечении  7.2.4. Понимание гиперболы в конических сечениях  7.2.5. Свойства конических сечений  7.2.6. Параметрические уравнения конусов  7.2.7. Полярные координаты коник
  8. Арифметическая логика  8.1. Введение в логику в математической логике  8.1.1. Утверждения и логические связки  8.1.2. Таблицы истинности  8.1.3. Логическое равенство  8.1.4. Кванторы в логике и математической логике  8.1.5. Методы доказательств  8.2. Понимание доказательств в математической логике  8.2.1. Прямое доказательство  8.2.2. Косвенные доказательства  8.2.3. Понимание доказательства от противного  8.2.4. Доказательство по математической индукции

Класс 11 → Вероятность и статистика ↓


Случайные величины


В теории вероятностей и статистике понятие "случайная величина" является фундаментальным. Случайная величина — это переменная, чьи возможные значения являются числовыми исходами случайного явления. Чтобы понять это более детально, можно сказать, что случайная величина — это функция, которая назначает реальное число каждому исходу в пространстве исходов случайного эксперимента.

Понимание случайных величин

Случайные величины могут быть дискретными или непрерывными. Дискретные случайные величины имеют счетное количество возможных значений. С другой стороны, непрерывные случайные величины имеют бесконечное количество возможных значений.

Дискретная случайная величина

Дискретные случайные величины обычно возникают при подсчете чего-либо. Например, если вы бросаете шестигранную кость, возможные исходы (1, 2, 3, 4, 5, 6) являются дискретными и счетными. Мы можем представить эту случайную величину как X, где X может принимать любое значение от 1 до 6. Давайте рассмотрим эту концепцию на примере.

Исход броска кости: {1, 2, 3, 4, 5, 6}
123456

Здесь каждый отрезок линии представляет возможный исход броска кости. Случайная величина X принимает любое из этих значений, каждое с вероятностью 1/6.

Непрерывная случайная величина

Непрерывные случайные величины возникают при измерении чего-либо. Эти величины могут принимать бесконечное количество значений, таких как высота, вес, время и температура. Например, рассмотрим измерение дождевых осадков в городе. Случайная величина Y может представлять количество осадков в сантиметрах, которое может принимать любое значение от 0 до любого положительного числа в зависимости от обстоятельств.

0 см... см

На рисунке выше линия представляет все возможные значения осадков, которые непрерывно изменяются от 0 см и далее.

Распределения вероятностей

Распределение вероятностей — это функция, которая предоставляет вероятности наступления различных возможных исходов. Для дискретных случайных величин распределение вероятностей называется функцией распределения вероятностной массы (PMF), тогда как для непрерывных случайных величин оно называется функцией плотности вероятности (PDF).

Функция распределения вероятностной массы (PMF)

Функция распределения вероятностной массы предоставляет вероятность того, что дискретная случайная величина точно равна некоторому значению. Для вышеупомянутого примера с броском кости PMF X может быть представлена как:

P(X = x) = 1/6 для x в {1, 2, 3, 4, 5, 6}
1234561/6

Каждая синяя полоска представляет вероятность того, что выпадет одно из чисел на кости, все с вероятностью равной 1/6.

Функция плотности вероятности (PDF)

Функция плотности вероятности используется для непрерывных случайных величин. PDF указывает на относительную вероятность того, что эта случайная величина принимает заданное значение. Однако PDF не предоставляет вероятности напрямую (поскольку вероятность в любой отдельной точке равна нулю для непрерывной случайной величины), но вместо этого её нужно интегрировать по интервалу, чтобы получить вероятность.

Предположим, f(y) — это функция плотности вероятности для случайной величины Y. Вероятность того, что Y находится между a и b, дается следующей формулой:

P(a < Y < b) = ∫[a, b] f(y) dy

Ожидание и дисперсия случайных величин

Ожидание (среднее значение)

Ожидание или среднее значение случайной величины предоставляет среднее значение исходов. Для дискретной случайной величины X с PMF P ожидание вычисляется как:

E(X) = Σ [x * P(x)]

Для непрерывной случайной величины Y с PDF f ожидание вычисляется как:

E(Y) = ∫ y * f(y) dy

Дисперсия и стандартное отклонение

Дисперсия измеряет, насколько сильно отклоняются значения случайной величины от среднего. Для дискретной случайной величины X дисперсия вычисляется как:

Var(X) = Σ [(x - E(X))^2 * P(x)]

Стандартное отклонение — это квадратный корень из дисперсии, который предоставляет меру того, насколько сильно разбросаны данные в наборе.

Реальные примеры

Случайные величины широко используются в различных областях. Некоторые примеры включают:

  • Страхование: Страховщики используют случайные величины для моделирования рисков и установления цен на страховые полисы.
  • Производство: Компании измеряют и контролируют вариации в своих процессах, используя непрерывные случайные величины.
  • Финансы: Цены на акции моделируются как случайные величины для прогнозирования их будущего поведения.
  • Медицина: Клинические испытания используют концепцию случайных величин для анализа эффективности лечения.

Через эти примеры мы видим, что случайные величины помогают нам моделировать неопределенность, присущую различным реальным процессам и сценариям принятия решений.


Класс 11 → 6.2


U
username
0%
завершено в Класс 11

← предыдущая (6.1.5)
Комбинаторная вероятность
следующая (6.2.1) →
Дискретная случайная величина

комментарии 



Случайные величины

https://www.buddymath.com/g11/6.2?bmal=ru