यादृच्छिक चरों

संभाव्यता और सांख्यिकी में, "यादृच्छिक चर" की अवधारणा मौलिक है। एक यादृच्छिक चर वह चर है जिसके संभावित मान एक यादृच्छिक घटना के संख्यात्मक परिणाम होते हैं। इसे अधिक विस्तार से समझने के लिए, एक यादृच्छिक चर को एक फ़ंक्शन के रूप में सोचा जा सकता है जो एक यादृच्छिक प्रयोग के नमूना स्थान में प्रत्येक परिणाम को एक वास्तविक संख्या आवंटित करता है।

यादृच्छिक चरों की समझ

यादृच्छिक चर अविभाज्य या सतत हो सकते हैं। अविभाज्य यादृच्छिक चरों के संभावित मानों की गणनीय संख्या होती है। दूसरी ओर, सतत यादृच्छिक चरों के संभावित मानों की अनंत संख्या होती है।

अविभाज्य यादृच्छिक चर

अविभाज्य यादृच्छिक चर आमतौर पर कुछ गिनने पर उत्पन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि आप छह-पक्षीय पासा फेंकते हैं, तो संभावित परिणाम (1, 2, 3, 4, 5, 6) अविभाज्य और गिनने योग्य होते हैं। हम इस यादृच्छिक चर को X के रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं जहाँ X 1 से 6 तक का कोई भी मान ले सकता है। आइए इस अवधारणा को एक उदाहरण के साथ देखें।

पासा फेंकने का परिणाम: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

यहाँ, प्रत्येक रेखा खंड पासा फेंकने के एक संभावित परिणाम का प्रतिनिधित्व करता है। यादृच्छिक चर X इन मूल्यों में से कोई भी लेता है, जिसमें प्रत्येक की संभावना 1/6 होती है।

सतत यादृच्छिक चर

सतत यादृच्छिक चर कुछ मापने से उत्पन्न होते हैं। ये चर अनंत संख्या के मान ले सकते हैं, जैसे ऊँचाई, वजन, समय और तापमान। उदाहरण के लिए, एक शहर में वर्षा का मापन करें। यादृच्छिक चर Y सेंटीमीटर में वर्षा की मात्रा का प्रतिनिधित्व कर सकता है, जो परिस्थितियों के अनुसार 0 से किसी भी सकारात्मक संख्या तक ले सकता है।

ऊपर के चित्र में, रेखा सभी संभावित वर्षा मूल्यों का प्रतिनिधित्व करती है, जो 0 सेमि से आगे एक सतत रेंज है।

संभाव्यता वितरण

संभाव्यता वितरण एक फ़ंक्शन है जो विभिन्न संभावित परिणामों के घटित होने की संभावनाएँ प्रदान करता है। अविभाज्य यादृच्छिक चरों के लिए, संभावना वितरण को संभावना द्रव्यमान फ़ंक्शन (PMF) कहा जाता है, जबकि सतत यादृच्छिक चरों के लिए इसे संभावना घनत्व फ़ंक्शन (PDF) कहा जाता है।

संभाव्यता द्रव्यमान फ़ंक्शन (PMF)

संभाव्यता द्रव्यमान फ़ंक्शन यह संभावना देता है कि एक अविभाज्य यादृच्छिक चर सटीक रूप से किसी मान के बराबर है। पहले उल्लिखित पासा फेंकने के उदाहरण के लिए, X का PMF इस प्रकार प्रतिनिधित्व किया जा सकता है:

P(X = x) = 1/6 के लिए x में {1, 2, 3, 4, 5, 6}

प्रत्येक नीली पट्टी पासे पर किसी भी संख्या के आने की संभावना का प्रतिनिधित्व करती है, सभी की संभावना 1/6 के बराबर होती है।

संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन (PDF)

संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन का उपयोग सतत यादृच्छिक चरों के लिए किया जाता है। PDF इस यादृच्छिक चर के किसी दिए गए मान को लेने की सापेक्ष संभावना को सूचित करता है। हालांकि, PDF सीधे संभावितताएँ नहीं देता है (क्योंकि सतत यादृच्छिक चर के लिए किसी भी एकल बिंदु पर संभावना शून्य है), बल्कि इसे संभावना प्रदान करने के लिए एक अंतराल पर एकीकृत करने की आवश्यकता होती है।

मान लीजिए f(y) एक यादृच्छिक चर Y के लिए संभावना घनत्व फ़ंक्शन है, Y के a और b के बीच होने की संभावना इस प्रकार दी गई है:

P(a < Y < b) = ∫[a, b] f(y) dy

यादृच्छिक चरों की प्रत्याशा और परिवर्तनशीलता

प्रत्याशा (औसत)

एक यादृच्छिक चर की प्रत्याशा या औसत परिणामों के औसत मान प्रदान करता है। अविभाज्य यादृच्छिक चर X के लिए PMF P के साथ, प्रत्याशा इस प्रकार गणना की जाती है:

E(X) = Σ [x * P(x)]

सतत यादृच्छिक चर Y के लिए pdf f के साथ, प्रत्याशा इस प्रकार गणना की जाती है:

E(Y) = ∫ y * f(y) dy

परिवर्तनशीलता और मानक विचलन

परिवर्तनशीलता मापती है कि एक यादृच्छिक चर के मान औसत से कितने दूर होते हैं। एक अविभाज्य यादृच्छिक चर X के लिए, परिवर्तनशीलता इस प्रकार गणना की जाती है:

Var(X) = Σ [(x - E(X))^2 * P(x)]

मानक विचलन परिवर्तनशीलता का वर्गमूल होता है, जो माप प्रदान करता है कि डेटा सेट में संख्या कितनी फैली हुई हैं।

वास्तविक जीवन के उदाहरण

यादृच्छिक चर का बड़े पैमाने पर विभिन्न क्षेत्रों में उपयोग किया जाता है। कुछ उदाहरण हैं:

• बीमा: बीमाकर्ता जोखिमों को मॉडल करने और पॉलिसी की कीमतें निर्धारित करने के लिए यादृच्छिक चरों का उपयोग करते हैं।
• उत्पादन: कंपनियाँ सतत यादृच्छिक चरों का उपयोग करके अपनी प्रक्रियाओं में विविधताओं को मापती और नियंत्रित करती हैं।
• वित्त: स्टॉक की कीमतों को भविष्यवाणी करने के लिए यादृच्छिक चरों के रूप में मॉडल किया जाता है।
• चिकित्सा: इलाज की प्रभाविता का विश्लेषण करने के लिए यादृच्छिक चरों की अवधारणा का उपयोग नैदानिक परीक्षणों में किया जाता है।

इन उदाहरणों के माध्यम से, हम देखते हैं कि यादृच्छिक चर हमें विभिन्न वास्तविक-विश्व प्रक्रियाओं और निर्णय लेने की परिस्थितियों में निहित अनिश्चितता को मॉडल करने में मदद करते हैं।

टिप्पणियाँ