प्रायिकता वितरण

गणित की दुनिया में, यादृच्छिकता और अनिश्चितता की घटनाओं की खोज के लिए प्रायिकता वितरण की अवधारणा को समझना महत्वपूर्ण है। चलिए प्रायिकता वितरण की इस दिलचस्प दुनिया में कुछ बुनियादी विचारों से शुरुआत करते हुए गहराई से प्रवेश करते हैं।

यादृच्छिक चर क्या है?

प्रायिकता वितरण का पता लगाने से पहले, हमें यह समझना होगा कि यादृच्छिक चर क्या होता है। एक यादृच्छिक चर एक ऐसा चर है जिसका मान अवसर के कारण बदल सकता है। एक पारंपरिक चर की तरह स्थिर होने के बजाय, एक यादृच्छिक चर कई मान ले सकता है, जिनमें से प्रत्येक के साथ एक प्रायिकता जुड़ी होती है।

यादृच्छिक चर के उदाहरण

निम्नलिखित रोजमर्रा की स्थितियों पर विचार करें:

• सिक्का उछालना: यदि हम एक सिक्का उछालते हैं, तो हम परिणाम को एक यादृच्छिक चर के रूप में मॉडल कर सकते हैं, जैसे X, जहां X = 1 अगर हेड्स आएं, और X = 0 अगर टेल्स आएं।
• पासा फेंकना: यहाँ, यादृच्छिक चर Y पासा फेंकने के परिणाम का प्रतिनिधित्व कर सकता है। संभावित मान 1 से 6 तक होते हैं, जिनमें से प्रत्येक के घटित होने की समान प्रायिकता होती है।
• तापमान: अगर आप सप्ताह के हर दिन दोपहर के समय तापमान मापते हैं, तो पाठ्यक्रमों को यादृच्छिक चर माना जा सकता है, क्योंकि प्रतिदिन का तापमान विभिन्न कारकों के कारण बदलता रहता है।

प्रायिकता वितरण क्या है?

प्रायिकता वितरण इस बात को वर्णित करता है कि किसी यादृच्छिक चर के मान कैसे फैले हुए हैं या वितरित हैं। यह उस विशेष परिणाम या परिणामों की श्रेणी की प्रायिकता देता है जो घटित होगी। सरल शब्दों में, यह हमें बताता है कि एक प्रयोग करने पर विभिन्न परिणामों के घटित होने की संभावना कितनी है।

प्रायिकता वितरण के दो मुख्य प्रकार होते हैं:

• विसंयुक्त प्रायिकता वितरण: ये परिदृश्यों का वर्णन करते हैं जहां संभावित परिणामों का सेट विसंयुक्त या गणनीय होता है। उदाहरण के लिए, पासा फेंकने या सिक्का उछालने का परिणाम।
• सतत प्रायिकता वितरण: ये उन स्थितियों पर लागू होते हैं जहां संभावित परिणामों का सेट सतत होता है। उदाहरण के लिए, लोगों की ऊँचाई की माप या दौड़ने में लगने वाले समय की माप।

विसंयुक्त प्रायिकता वितरण

1. उदाहरण: सिक्का उछालना

चलो एक निष्पक्ष सिक्का उछालने से शुरू करते हैं। जब आप एक सिक्का उछालते हैं तो संभावित परिणाम हेड्स या टेल्स होते हैं। इस प्रकार, आपके पास है:

    x = 
    ,
        1, अगर सिक्का हेड्स पर गिरता है
        0, अगर सिक्का टेल्स पर गिरता है
    ,

इस उदाहरण में, हेड्स के लिए प्रायिकता P(X=1) 0.5 है और टेल्स के लिए प्रायिकता P(X=0) भी 0.5 है।

दृश्य उदाहरण: सिक्का उछालने की प्रायिकता वितरण

यह चार्ट दिखाता है कि सिक्का उछालने की प्रायिकता वितरण में दोनों पक्षों, हेड्स और टेल्स के घटित होने की समान संभावना है, प्रत्येक 0.5 या 50% होती है।

2. उदाहरण: पासा फेंकना

एक छह-पार्श्वीय पासा फेंकने पर विचार करें। आप यादृच्छिक चर Z को पासा पर गिरने वाले पक्ष के रूप में सोच सकते हैं। एक निष्पक्ष पासा होने पर, प्रत्येक पार्श्व — 1, 2, 3, 4, 5, या 6 — के घटित होने के समान संभावना होती है:

    p(z=1) = 1/6,
    p(z=2) = 1/6,
    p(z=3) = 1/6,
    p(z=4) = 1/6,
    p(z=5) = 1/6,
    p(z=6) = 1/6

दृश्य उदाहरण: पासा फेंकने की प्रायिकता वितरण

इस उदाहरण में, पासे के हर नंबर के होने की संभावना समान होती है, इसलिए प्रत्येक के लिए प्रायिकता 1/6 होती है। इस समान प्रायिकता वितरण से पासे की निष्पक्षता उभरकर आती है।

सतत प्रायिकता वितरण

उदाहरण: तापमान मापन

कल्पना करें कि आप सालभर अपने शहर में दोपहर के समय तापमान मापते हैं। तापमान एक सतत यादृच्छिक चर होता है क्योंकि यह किसी दिए गए सीमा के भीतर अनंत मान ले सकता है। मान लें कि आपके शहर का औसत तापमान 25 °C है, लेकिन यह 15 से 35 °C के बीच बदल सकता है।

इस परिदृश्य का वर्णन करने वाला प्रायिकता वितरण सामान्य वितरण है, जिसका अक्सर बेल वक्र द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है:

    सामान्य वितरण फलन:
    f(x) = (1/σ√2π) * e^(-(x-μ)²/(2σ²))
    
    जहां:
    μ = माध्य (औसत तापमान),
    σ = मानक विचलन (तापमान औसत से कितना बदलता है),
    e = गणितीय स्थिरांक लगभग 2.718 के बराबर।

हालांकि इसे सीधे यहाँ दिखाना कठिन है, यह सुंदर रूप से संतुलित बेल-आकार का वक्र औसत पर उच्चतम होता है, जो सबसे गर्म संभव तापमान का प्रतिनिधित्व करता है, और दोनों दिशाओं में समान रूप से घटता है।

ध्यान देने योग्य मुख्य विशेषताएँ

प्रत्येक वितरण के कुछ विशेष गुण और विशेषताएँ होती हैं जो डेटा का वर्णन करने में सहायक होती हैं:

• माध्य: यह वह औसत मान होता है जिसकी एक यादृच्छिक चर से अपेक्षा की जाती है।
• मध्यिका: यह वह मध्य मान होता है, जो प्रायिकता वितरण को दो समान भागों में विभाजित करता है।
• मोड: यह वह मान होता है जो सबसे अधिक बार उपस्थित होता है।
• विचलन: यह बताता है कि य

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