Дискретная случайная величина

В мире вероятности и статистики случайные величины играют важную роль в работе с неопределенностью и понимании данных. Случайная величина — это, по сути, переменная, которая принимает различные значения в зависимости от исхода случайного события. Случайные величины можно классифицировать на две основные категории: дискретные случайные величины и непрерывные случайные величины. Здесь мы сосредоточимся конкретно на дискретных случайных величинах.

Что такое дискретная случайная величина?

Дискретная случайная величина — это тип случайной величины, которая может принимать конечное число возможных значений. Это означает, что значения дискретной случайной величины можно перечислить, даже если список является бесконечным. Примеры дискретных значений включают целые числа, такие как 0, 1, 2, 3 и так далее.

Ключевая особенность дискретных случайных величин заключается в том, что между каждым возможным значением есть четкие интервалы. Это контрастирует с непрерывными случайными величинами, которые могут принимать любое значение в заданном диапазоне, без интервалов между ними.

Примеры дискретных случайных величин

Чтобы лучше понять дискретные случайные величины, рассмотрим несколько примеров:

Пример 1: Бросание шестигранного кубика

Рассмотрим ситуацию броска честного шестигранного кубика. Возможные исходы: 1, 2, 3, 4, 5 и 6. В этом случае результат броска кубика представляет собой дискретную случайную величину, поскольку она может принимать только одно из этих шести значений. Каждое число представляет собой одну возможную грань кубика, которая может выпасть лицом вверх.

Возможные значения X (значение на грани кубика): 1, 2, 3, 4, 5, 6

Случайная величина X в этом сценарии является дискретной случайной величиной, представляющей значение, показанное на кубике.

Пример 2: Количество выпавших орлов при подбрасывании монеты

Предположим, вы трижды бросаете честную монету и хотите посчитать количество выпавших орлов. Возможные исходы для количества орлов: 0, 1, 2 или 3. Здесь случайная величина Y, представляющая количество орлов, является дискретной.

Возможные значения Y (количество орлов): 0, 1, 2, 3

В этом примере Y является дискретной случайной величиной, представляющей, сколько раз выпал орел в серии бросков монеты.

Пример 3: Подсчет студентов в классе

Представьте себе классную комнату, в которой вы считаете количество присутствующих студентов. Возможные значения числа студентов являются натуральными числами, такими как 0, 1, 2, 3 и т.д. Это число на самом деле поддается счету и представляет собой дискретную случайную величину.

Возможные значения Z (число студентов): 0, 1, 2, 3, ...

В этом случае Z является дискретной случайной величиной, подсчитывающей количество студентов в комнате.

Функция распределения вероятностей (PMF)

Чтобы лучше понять дискретные случайные величины, введем понятие функции распределения вероятностей, часто сокращенно PMF. PMF — это функция, которая определяет вероятность каждого возможного значения дискретной случайной величины.

PMF обычно обозначается как P(X = x), что является вероятностью того, что случайная величина X равна определенному значению x. Чтобы PMF соответствовала, должны соблюдаться следующие свойства:

• Вероятность каждого возможного исхода находится в диапазоне от 0 до 1, включительно:
  0 ≤ P(X = x) ≤ 1
• Сумма всех вероятностей для всех возможных значений должна быть равна 1:
  ∑ P(X = x) = 1

Пример: PMF для бросания шестигранного кубика

Для примера с бросанием кубика PMF может быть представлена следующим образом:

p(x = 1) = 1/6
p(x = 2) = 1/6
p(x = 3) = 1/6
p(x = 4) = 1/6
p(x = 5) = 1/6
p(x = 6) = 1/6

Вероятность каждого возможного значения (от 1 до 6) равна 1/6, поскольку кубик честный и каждая грань имеет равную вероятность выпадения.

Визуализация дискретных случайных величин

Для визуального представления дискретной случайной величины рассмотрим пример с бросанием шестигранного кубика. Гистограмма является обычным способом визуализировать PMF дискретной случайной величины.

Эта диаграмма показывает PMF для шестигранного кубика, где каждая полоса представляет вероятность 1/6 для значений от 1 до 6.

Функция распределения (CDF)

Еще одним важным понятием, связанным с дискретными случайными величинами, является функция распределения, сокращенно CDF. CDF показывает вероятность того, что случайная величина X будет меньше или равна определенному значению x, выраженную как P(X ≤ x)

Пример: CDF для бросания шестигранного кубика

Рассмотрим CDF для примера с бросанием кубика:

p(x ≤ 1) = 1/6
p(x ≤ 2) = 2/6
p(x ≤ 3) = 3/6
p(x ≤ 4) = 4/6
p(x ≤ 5) = 5/6
P(x ≤ 6) = 6/6 = 1

Эта ступенчатая функция накапливает вероятности по мере перехода от одного значения к следующему.

Ожидание и дисперсия дискретной случайной величины

Ожидание (математическое ожидание)

Ожидание или среднее дискретной случайной величины является мерой ее центральной тенденции. Это средневзвешенное значение возможных значений, которые может принимать случайная величина, где весами являются их вероятности. Ожидание обозначается как E(X) или μ.

Формула для расчета ожидания дискретной случайной величины X выглядит следующим образом:

e(x) = ∑ [x * p(x = x)]

Пример: ожидание при бросании шестигранного кубика

Для примера с бросанием кубика ожидание рассчитывается следующим образом:

e(x) = 1 * (1/6) + 2 * (1/6) + 3 * (1/6) + 4 * (1/6) + 5 * (1/6) + 6 * (1/6) = 21/6 = 3.5

Если кубик бросать много раз, ожидаемое значение равно 3.5, это средний результат.

Дисперсия

Дисперсия дискретной случайной величины измеряет рассеяние или распределение ее возможных значений. Это ожидаемое значение квадрата отклонения от среднего. Дисперсия обозначается как Var(X) или σ2.

Формула для дисперсии выглядит следующим образом:

Var(X) = E[(X - μ)2 ] = ∑ [(x - μ)2 * P(X = x)]

Пример: дисперсия для бросания шестигранного кубика

Для примера с бросанием кубика, где μ = 3.5, дисперсия рассчитывается следующим образом:

Var(x) = [(1 - 3.5)2 * (1/6)] + [(2 - 3.5)2 * (1/6)] +
         [(3 – 3.5)2 * (1/6)] + [(4 – 3.5)2 * (1/6)] +
         [(5 – 3.5)2 * (1/6)] + [(6 – 3.5)2 * (1/6)]
       = [(-2.5)2 * (1/6)] + [(-1.5)2 * (1/6)] +
         [(-0.5)2 * (1/6)] + [(0.5)2 * (1/6)] +
         [(1.5)2 * (1/6)] + [(2.5)2 * (1/6)]
       = 2.92

Дисперсия 2.92 указывает среднее квадратное отклонение бросков кубика от ожидания.

Заключение

Дискретные случайные величины являются фундаментальными в теории вероятностей и статистике и используются для моделирования многих реальных ситуаций, когда результаты поддаются счету. Понимание того, как работать с дискретными случайными величинами, включая вычисление их функции распределения вероятностей, функции распределения, ожидания и дисперсии, предоставляет прочную основу для анализа случайных событий и измерения неопределенности.

Понимание этих концепций позволяет применять их в различных областях, начиная от разработки игр на удачу и заканчивая процессами принятия решений, связанными с оценками вероятностей.

комментарии