Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Variable aleatoria discreta


En el mundo de la probabilidad y la estadística, las variables aleatorias desempeñan un papel vital en el manejo de la incertidumbre y la comprensión de los datos. Una variable aleatoria es esencialmente una variable que toma diferentes valores dependiendo del resultado de un evento aleatorio. Las variables aleatorias se pueden clasificar en dos categorías principales: variables aleatorias discretas y variables aleatorias continuas. Aquí, nos enfocaremos específicamente en las variables aleatorias discretas.

¿Qué es una variable aleatoria discreta?

Una variable aleatoria discreta es un tipo de variable aleatoria que puede tomar un número contable de posibles valores. Esto significa que los valores de una variable aleatoria discreta se pueden enumerar, incluso si la lista es infinita. Ejemplos de valores discretos incluyen números enteros, como 0, 1, 2, 3, etc.

Una característica clave de las variables aleatorias discretas es que hay intervalos distintos entre cada valor posible. Esto contrasta con las variables aleatorias continuas, que pueden tomar cualquier valor dentro de un rango dado, sin intervalos intermedios.

Ejemplos de variables aleatorias discretas

Para comprender mejor las variables aleatorias discretas, veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1: Lanzar un dado de seis caras

Consideremos la situación de lanzar un dado de seis caras justo. Los posibles resultados son 1, 2, 3, 4, 5 y 6. En este caso, el resultado del lanzamiento del dado es una variable aleatoria discreta porque solo puede tomar uno de estos seis valores. Cada número representa una posible cara del dado que puede caer hacia arriba.

Valores posibles de X (valor de la cara del dado): 1, 2, 3, 4, 5, 6

La variable aleatoria X, en este escenario, es una variable aleatoria discreta que representa el valor que muestra el dado.

Ejemplo 2: Número de caras al lanzar una moneda

Supongamos que lanzas una moneda justa tres veces y quieres contar el número de caras que salen. Los posibles resultados para el número de caras son 0, 1, 2 o 3. Aquí, la variable aleatoria Y, que representa el número de caras, es discreta.

Valores posibles de Y (número de caras): 0, 1, 2, 3

En este ejemplo, Y es una variable aleatoria discreta que representa el número de veces que ocurren caras en una secuencia de lanzamientos de monedas.

Ejemplo 3: Contar estudiantes en una clase

Imagina un aula donde estás contando el número de estudiantes presentes. Los posibles valores del número de estudiantes son números naturales, como 0, 1, 2, 3, etc. Este número es en realidad contable y representa una variable aleatoria discreta.

Valores posibles de z (número de estudiantes): 0, 1, 2, 3, ...

En este caso, Z es una variable aleatoria discreta que cuenta el número de estudiantes en la sala.

Función de masa de probabilidad (PMF)

Para comprender mejor las variables aleatorias discretas, introducimos el concepto de la función de masa de probabilidad, a menudo abreviada como PMF. La PMF es una función que proporciona la probabilidad de cada valor posible de una variable aleatoria discreta.

La PMF suele denotarse como P(X = x), que es la probabilidad de que la variable aleatoria X sea igual a un valor específico x. Para que se mantenga una PMF, deben cumplirse las siguientes propiedades:

  • La probabilidad de cada resultado posible está entre 0 y 1, incluyendo:
    0 ≤ P(X = x) ≤ 1
  • La suma de todas las probabilidades para todos los valores posibles debe ser igual a 1:
    ∑ P(X = x) = 1

Ejemplo: PMF para lanzar un dado de seis caras

Para el ejemplo del lanzamiento del dado, la PMF puede representarse de la siguiente manera:

p(x = 1) = 1/6
p(x = 2) = 1/6
p(x = 3) = 1/6
p(x = 4) = 1/6
p(x = 5) = 1/6
p(x = 6) = 1/6

La probabilidad de cada valor posible (de 1 a 6) es 1/6, porque los dados son justos, y cada cara tiene la misma probabilidad de aparecer.

Visualización de variables aleatorias discretas

Para proporcionar una representación visual de una variable aleatoria discreta, considere observar el ejemplo de lanzar un dado de seis caras. Un gráfico de barras es una forma común de representar visualmente la PMF de una variable aleatoria discreta.

1 2 3 4 5 6 Posibilidad

Este gráfico muestra la PMF para un dado de seis caras, con cada barra representando una probabilidad de 1/6 para los valores del 1 al 6.

Función de distribución acumulativa (CDF)

Otro concepto importante relacionado con las variables aleatorias discretas es la función de distribución acumulativa, abreviada como CDF. La CDF proporciona la probabilidad de que una variable aleatoria X sea menor o igual a un valor particular x, expresado como P(X ≤ x)

Ejemplo: CDF para lanzar un dado de seis caras

Consideremos la CDF para el ejemplo del lanzamiento del dado:

p(x ≤ 1) = 1/6
p(x ≤ 2) = 2/6
p(x ≤ 3) = 3/6
p(x ≤ 4) = 4/6
p(x ≤ 5) = 5/6
P(x ≤ 6) = 6/6 = 1

Esta función escalonada acumula probabilidades a medida que se avanza de un valor al siguiente.

Esperanza y varianza de una variable aleatoria discreta

Esperanza (media)

La esperanza o media de una variable aleatoria discreta es una medida de su tendencia central. Es un promedio ponderado de los posibles valores que la variable aleatoria puede tomar, con los pesos siendo sus probabilidades. La esperanza se denota como E(X) o μ.

La fórmula para calcular la esperanza de una variable aleatoria discreta X es:

e(x) = ∑ [x * p(x = x)]

Ejemplo: Esperanza de lanzar un dado de seis caras

Para el ejemplo del lanzamiento del dado, la esperanza se calcula de la siguiente manera:

e(x) = 1 * (1/6) + 2 * (1/6) + 3 * (1/6) + 4 * (1/6) + 5 * (1/6) + 6 * (1/6) = 21/6 = 3.5

Si los dados se lanzan muchas veces, el valor esperado es 3.5, el resultado promedio.

Varianza

La varianza de una variable aleatoria discreta mide la dispersión o variabilidad de sus posibles valores. Es el valor esperado de la desviación cuadrada de la media. La varianza se representa como Var(X) o σ2.

La fórmula para la varianza es:

Var(X) = E[(X - μ)2 ] = ∑ [(x - μ)2 * P(X = x)]

Ejemplo: Varianza para lanzar un dado de seis caras

Para el ejemplo del lanzamiento del dado donde μ = 3.5, la varianza se calcula de la siguiente manera:

Var(x) = [(1 - 3.5)2 * (1/6)] + [(2 - 3.5)2 * (1/6)] +
         [(3 – 3.5)2 * (1/6)] + [(4 – 3.5)2 * (1/6)] +
         [(5 – 3.5)2 * (1/6)] + [(6 – 3.5)2 * (1/6)]
       = [(-2.5)2 * (1/6)] + [(-1.5)2 * (1/6)] +
         [(-0.5)2 * (1/6)] + [(0.5)2 * (1/6)] +
         [(1.5)2 * (1/6)] + [(2.5)2 * (1/6)]
       = 2.92

La varianza de 2.92 indica la desviación cuadrada promedio de los lanzamientos de dados con respecto a la esperanza.

Conclusión

Las variables aleatorias discretas son fundamentales para la probabilidad y la estadística y se utilizan para modelar muchas situaciones del mundo real donde los resultados son contables. Comprender cómo trabajar con variables aleatorias discretas, incluyendo el cálculo de su función de masa de probabilidad, función de distribución acumulativa, esperanza y varianza, proporciona una base sólida para analizar eventos aleatorios y medir la incertidumbre.

Al comprender estos conceptos, se pueden aplicar a una variedad de áreas, que van desde el diseño de juegos de azar hasta procesos de toma de decisiones que involucran evaluaciones de probabilidad.


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