11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

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Entendendo a probabilidade em matemática


A probabilidade é um ramo da matemática que estuda a probabilidade de ocorrência de eventos. Este conceito nos ajuda a prever quão prováveis são certos eventos com base em dados disponíveis ou modelos teóricos. Desde decidir o que vestir com base na previsão do tempo até avaliar riscos em vários setores financeiros, a probabilidade desempenha um papel vital em nossas vidas diárias.

O que é probabilidade?

A probabilidade é uma medida entre 0 e 1 que indica quão provável é que um evento ocorra. Uma probabilidade de 0 significa que o evento não ocorrerá, enquanto uma probabilidade de 1 significa que o evento certamente ocorrerá. A maioria das probabilidades está em algum lugar entre esses valores.

Matematicamente, a probabilidade pode ser definida como a razão entre o número de resultados favoráveis e o número total de resultados possíveis. Pode ser escrita como:

    Probabilidade de um evento = (Número de resultados favoráveis) / (Número total de resultados possíveis)
    Probabilidade de um evento = (Número de resultados favoráveis) / (Número total de resultados possíveis)

Exemplo básico

Por exemplo, considere o evento simples de jogar uma moeda. Qual é a probabilidade de obter cara?

  • Número de resultados favoráveis (obter cara) = 1
  • Número total de resultados possíveis (cara e coroa) = 2
    Probabilidade de obter cara = 1/2 = 0,5
    Probabilidade de obter cara = 1/2 = 0,5

Isso significa que a probabilidade de obter cara ao jogar uma moeda é de 50%.

Visualização da probabilidade

Considere um dado de seis faces. Cada lado tem um número de 1 a 6. Qual é a probabilidade de obter um 3?

1 2 3 4 5 6

De entre esses 6 resultados possíveis, obter 3 é apenas um resultado. Portanto, a probabilidade é:

    Probabilidade de rolar um 3 = 1/6 ≈ 0,1667
    Probabilidade de rolar um 3 = 1/6 ≈ 0,1667

Esta probabilidade, aproximadamente 16,67%, indica que a expectativa teórica é que o número 3 apareça aproximadamente 16 vezes em 100 lançamentos.

Tipos de probabilidade

A probabilidade pode ser classificada em vários tipos:

Probabilidade teórica

A probabilidade teórica é baseada na lógica por trás da probabilidade. Ajuda a determinar quão provável é que um evento específico ocorra, baseado apenas nos resultados possíveis. Por exemplo, a probabilidade de tirar um ás de um baralho padrão de 52 cartas pode ser calculada da seguinte forma:

    Probabilidade de tirar um Ás = Número de Áses / Total de cartas = 4/52 = 1/13 ≈ 0,0769
    Probabilidade de tirar um Ás = Número de Áses / Total de cartas = 4/52 = 1/13 ≈ 0,0769

Probabilidade experimental

A probabilidade experimental é determinada por meio de experimentos reais e é baseada no número de resultados possíveis multiplicado pelo número total de tentativas. Por exemplo, se você lançar um dado 100 vezes e o número 3 aparecer 18 vezes, a probabilidade experimental é:

    Probabilidade experimental = Número de vezes que o evento ocorre / Número total de tentativas Probabilidade de rolar 3 = 18/100 = 0,18
    Probabilidade experimental = Número de vezes que o evento ocorre / Número total de tentativas Probabilidade de rolar 3 = 18/100 = 0,18

Observe que as probabilidades experimentais podem variar entre as tentativas devido à natureza aleatória.

Probabilidade subjetiva

A probabilidade subjetiva é baseada na intuição e no julgamento pessoal. Não é baseada em evidências físicas ou experimentos. Por exemplo, estimar a probabilidade de chuva amanhã pode basear-se no seu conhecimento sobre padrões climáticos, não em cálculos exatos.

Leis da probabilidade

Aqui estão algumas regras fundamentais que você deve conhecer sobre probabilidade:

Lei de eventos complementares

A lei de eventos complementares afirma que a soma das probabilidades de um evento e de seu complemento é igual a 1. Se P(A) é a probabilidade de um evento, então a probabilidade de o evento não ocorrer, P(A c), é:

    P(A c) = 1 - P(A)
    P(A c) = 1 - P(A)

Por exemplo, a probabilidade de não obter um 6 no dado é:

    P(não 6) = 1 - P(6) = 1 - 1/6 = 5/6
    P(não 6) = 1 - P(6) = 1 - 1/6 = 5/6

Regra da soma da probabilidade

A regra da soma é usada para encontrar a probabilidade da união de dois eventos. Se A e B são dois eventos, então a probabilidade de A ou B ocorrer (ou ambos) é calculada como:

    P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
    P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)

Por exemplo, considere tirar uma carta de um baralho. Deixe A ser o evento de que a carta é um coração e B ser o evento de que é um ás. A probabilidade de tirar um coração ou um ás é calculada levando em consideração que o ás de copas é contado duas vezes:

    P(Coração ∪ Ás) = P(Coração) + P(Ás) - P(Coração ∩ Ás) = 13/52 + 4/52 - 1/52 = 16/52 = 4/13
    P(Coração ∪ Ás) = P(Coração) + P(Ás) - P(Coração ∩ Ás) = 13/52 + 4/52 - 1/52 = 16/52 = 4/13

Lei da probabilidade multiplicativa

Esta regra é aplicada para encontrar a probabilidade de interseção de dois eventos dependentes. Se A e B são dois eventos, então:

    P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A)
    P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A)

onde P(B|A) é a probabilidade de B, dado que A já ocorreu.

Eventos independentes e dependentes

É importante entender se os eventos são independentes ou dependentes para calcular corretamente as probabilidades.

Eventos independentes

Os eventos são independentes se a ocorrência de um evento não tiver efeito sobre a ocorrência de outro. Por exemplo, lançar uma moeda e jogar um dado ao mesmo tempo são eventos independentes. A probabilidade de ambos os resultados (obter cara e 4) é:

    P(Cara e 4) = P(Cara) × P(4) = 1/2 × 1/6 = 1/12
    P(Cara e 4) = P(Cara) × P(4) = 1/2 × 1/6 = 1/12

Eventos dependentes

Eventos dependem de se o resultado ou ocorrência do primeiro evento afeta o resultado ou ocorrência do segundo evento de alguma forma. Por exemplo, tirar duas cartas de um baralho sem reposição. A probabilidade de tirar um rei seguido de uma dama é:

    P(Dama ∩ Rei) = P(Dama) × P(Rei|Dama) = 4/52 × 4/51 = 1/13 × 4/51 = 4/663
    P(Dama ∩ Rei) = P(Dama) × P(Rei|Dama) = 4/52 × 4/51 = 1/13 × 4/51 = 4/663

Conclusão

A probabilidade é uma ferramenta importante no conjunto de ferramentas matemáticas para entender e lidar com a incerteza. Usando princípios como a probabilidade de eventos, diferentes tipos de probabilidades e as regras que regem a sobreposição e interseção, você pode efetivamente resolver uma ampla gama de problemas em várias áreas da vida e do trabalho. Combinando tanto o entendimento teórico quanto metodológico, a probabilidade nos permite avaliar e fazer previsões sobre o mundo ao nosso redor com razoável certeza.

Pratique e explore

Para construir uma forte intuição para a probabilidade, continue praticando problemas, realizando seus próprios pequenos experimentos e usando dados do mundo real para calcular probabilidades. Quanto mais você praticar, mais naturalmente a probabilidade se tornará parte do seu conjunto de habilidades analíticas.


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