11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

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Probabilidade combinatória


A probabilidade combinatória é uma parte fascinante da probabilidade e estatística. Ela lida com situações em que precisamos contar o número de maneiras pelas quais as coisas podem acontecer e, em seguida, calcular a probabilidade desses eventos. Este conceito depende fortemente do entendimento de combinações e permutações.

Entendendo a combinatória

Combinatória é um ramo da matemática que trata da contagem, arranjo e combinação de objetos. Ela responde a perguntas como "De quantas maneiras diferentes esses eventos podem ocorrer?". Ela forma a base da probabilidade combinatória.

Vamos primeiro entender o que são permutações e combinações:

Permutação

Permutação é arranjar objetos em uma ordem específica. Por exemplo, se temos três letras A, B e C, podemos arranjá-las em ordens diferentes:

        1. ABC
        2. ACB
        3. BAC
        4. BCA
        5. CAB
        6. CBA

Em geral, para n objetos únicos, há n! (fatorial de n) permutações. O fatorial de um número inteiro não negativo ( n ), denotado por ( n ), é o produto de todos os números inteiros positivos menores ou iguais a ( n ).

Combinação

Combinações são seleções de itens em que a ordem não importa. Por exemplo, se você quiser selecionar 2 de 3 letras A, B e C, você tem as seguintes combinações (a ordem não é importante):

        1. AB
        2. AC
        3. BC

Para calcular as combinações usamos a fórmula:

C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)

Onde n é o número total de itens, e r é o número de itens a escolher.

Calculando probabilidade usando combinatória

A probabilidade é uma medida da probabilidade de ocorrência de um evento. É definida como a razão entre o número de resultados favoráveis e o número total de resultados possíveis.

Matematicamente, isso pode ser expresso como:

P(Evento) = Número de Resultados Favoráveis / Número Total de Resultados Possíveis

Com a probabilidade combinatória, frequentemente usamos combinações e permutações para determinar o número de resultados favoráveis e possíveis.

Exemplo 1: Bilhete de loteria

Imagine um jogo de loteria onde você deve escolher 4 números, e cada um pode ser de 1 a 10. Qual é a probabilidade de escolher os números 1, 2, 3 e 4 na mesma ordem?

Primeiro, determine o número total de resultados possíveis. Como a ordem importa, este é um problema de permutação:

Total de Resultados = P(10, 4) = 10! / (10-4)! = 10 * 9 * 8 * 7 = 5040

Há apenas uma maneira de obter os resultados 1, 2, 3, 4 nessa ordem. Assim:

P (1, 2, 3, 4) = 1 / 5040 ≈ 0,000198

Exemplo 2: Escolhendo uma equipe

Suponha que você tenha um grupo de 12 alunos e precise selecionar uma equipe de 4. Qual é o número de maneiras de selecionar uma equipe?

Este é um problema de combinação porque a ordem em que você escolhe não importa. Assim:

C(12, 4) = 12! / (4! * (12-4)!) = 495

Portanto, há 495 maneiras diferentes de formar uma equipe de 4 alunos.

Representação visual

Às vezes, o uso de diagramas ou ilustrações pode ajudar a esclarecer os problemas.

Diagrama de árvore

Um diagrama de árvore pode ilustrar o princípio da contagem. Vamos ver como um diagrama de árvore mostra o número de maneiras de escolher 2 itens de um conjunto {A, B, C} independentemente da ordem.

A B A,B A,C B,C B.A

A mesma combinação é mostrada mais de uma vez na imagem, já que não há ordem específica neste exemplo.

Aplicação da probabilidade combinatória

Você pode ver a probabilidade combinatória em todo lugar, desde jogos até cenários do cotidiano. Aqui estão alguns exemplos do dia-a-dia:

Exemplo 3: Baralho de cartas

Considere um baralho padrão de 52 cartas. Qual é a probabilidade de obter 4 ases?

Primeiro, encontre o número de combinações de obter 4 ases:

C(4, 4) = 4! / (4! * (4-4)!) = 1

Depois, conte o número de maneiras de escolher 4 cartas de todo o baralho:

C(52, 4) = 52! / (4! * (52-4)!) = 270725

Portanto, a probabilidade é:

P (4 ases) = 1 / 270725 ≈ 0,0000037

Exemplo 4: Loteria simples

Em uma loteria simples com números de 1 a 100, se você tiver que escolher os números vencedores, qual é a probabilidade de adivinhar corretamente?

Existe apenas um resultado favorável quando você escolhe os números corretos:

O total de resultados possíveis é 100, pois há 100 números diferentes.

Então:

P (Vencer) = 1 / 100 = 0,01 ou 1%

Conclusão

A probabilidade combinatória fornece uma maneira estruturada de olhar para a probabilidade de eventos ocorrerem combinando princípios básicos de contagem e teoria da probabilidade. Compreender como permutações e combinações são calculadas é essencial e abre diferentes estratégias analíticas para lidar com a incerteza.

Seja considerando cenários simples, como tirar uma carta de um baralho, ou casos mais complexos, esses conceitos formam a base para fazer previsões informadas sobre eventos aleatórios. Eles são importantes não apenas na matemática escolar, mas também em campos tão diversos como engenharia, economia, biologia e inteligência artificial.


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