Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Probabilidad combinatoria


La probabilidad combinatoria es una parte fascinante de la probabilidad y las estadísticas. Trata sobre situaciones en las que necesitamos contar el número de maneras en que pueden ocurrir las cosas y luego calcular la probabilidad de estos eventos. Este concepto se basa en gran medida en comprender combinaciones y permutaciones.

Comprendiendo la combinatoria

La combinatoria es una rama de las matemáticas que se ocupa de contar, ordenar y combinar objetos. Responde a preguntas como "¿De cuántas maneras diferentes pueden ocurrir estos eventos?". Forma la base de la probabilidad combinatoria.

Primero entendamos qué son las permutaciones y combinaciones:

Permutación

Permutar es ordenar objetos en un orden específico. Por ejemplo, si tenemos tres letras A, B y C, podemos ordenarlas de diferentes maneras:

        1. ABC
        2. ACB
        3. BAC
        4. BCA
        5. CAB
        6. CBA

En general, para n objetos únicos, hay n! (n factorial) permutaciones. El factorial de un número entero no negativo ( n ), denotado por ( n ), es el producto de todos los enteros positivos menores o iguales a ( n ).

Combinación

Las combinaciones son selecciones de elementos donde el orden no importa. Por ejemplo, si quieres seleccionar 2 de las 3 letras A, B y C, tienes las siguientes combinaciones (el orden no es importante):

        1. AB
        2. AC
        3. BC

Para calcular las combinaciones usamos la fórmula:

C(n, r) = n! / (r! * (n-r)!)

Donde n es el número total de elementos, y r es el número de elementos a elegir.

Calculando la probabilidad usando la combinatoria

La probabilidad es una medida de la probabilidad de que ocurra un evento. Se define como la relación entre el número de resultados favorables y el número total de resultados posibles.

Matemáticamente esto se puede expresar como:

P(Evento) = Número de Resultados Favorables / Número Total de Resultados Posibles

Con la probabilidad combinatoria, a menudo usamos combinaciones y permutaciones para determinar el número de resultados favorables y posibles.

Ejemplo 1: Boleto de lotería

Imagina un juego de lotería donde debes elegir 4 números, y cada uno puede ser del 1 al 10. ¿Cuál es la probabilidad de elegir los números 1, 2, 3 y 4 en el mismo orden?

Primero, determina el número total de resultados posibles. Como el orden importa, este es un problema de permutación:

Resultados Totales = P(10, 4) = 10! / (10-4)! = 10 * 9 * 8 * 7 = 5040

Solo hay una forma de obtener los resultados 1, 2, 3, 4 en ese orden. Así que:

P (1, 2, 3, 4) = 1 / 5040 ≈ 0.000198

Ejemplo 2: Elegir un equipo

Supongamos que tienes un grupo de 12 estudiantes, y debes seleccionar un equipo de 4. ¿Cuál es el número de formas de seleccionar un equipo?

Este es un problema combinado porque el orden en que eliges no importa. Así:

C(12, 4) = 12! / (4! * (12-4)!) = 495

Por lo tanto, hay 495 maneras diferentes de formar un equipo de 4 estudiantes.

Representación visual

A veces el uso de diagramas o ilustraciones puede ayudar a clarificar los problemas.

Diagrama de árbol

Un diagrama de árbol puede ilustrar el principio de conteo. Veamos cómo un diagrama de árbol muestra el número de maneras de elegir 2 elementos de un conjunto {A, B, C} independientemente del orden.

A B A,B A,C B,C B.A

La misma combinación se muestra más de una vez en la imagen, ya que no hay un orden específico en este ejemplo.

Aplicación de la probabilidad combinatoria

Puedes ver la probabilidad combinatoria en todas partes, desde juegos hasta escenarios de la vida real. Aquí hay algunos ejemplos cotidianos:

Ejemplo 3: Mazo de cartas

Considera un mazo estándar de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 4 ases?

Primero, encuentra el número de combinaciones para obtener 4 ases:

C(4, 4) = 4! / (4! * (4-4)!) = 1

Luego, cuenta el número de maneras de elegir 4 cartas de todo el mazo:

C(52, 4) = 52! / (4! * (52-4)!) = 270725

Por lo tanto, la probabilidad es:

P (4 ases) = 1 / 270725 ≈ 0.0000037

Ejemplo 4: Lotería simple

En una lotería simple con números del 1 al 100, si tienes que elegir los números ganadores, ¿cuál es la probabilidad de acertar?

Solo hay un resultado favorable cuando eliges los números correctos:

El total de resultados posibles es 100, ya que hay 100 números diferentes.

Entonces:

P (Ganar) = 1 / 100 = 0.01 o 1%

Conclusión

La probabilidad combinatoria proporciona una forma estructurada de observar la probabilidad de que ocurran eventos combinando principios básicos de conteo y teoría de la probabilidad. Comprender cómo se calculan las permutaciones y combinaciones es esencial y abre diferentes estrategias analíticas para enfrentar la incertidumbre.

Ya sea que estés considerando escenarios simples, como sacar una carta de un mazo, o casos más complejos, estos conceptos forman la base para hacer predicciones informadas sobre eventos aleatorios. Son importantes no solo en matemáticas escolares, sino también en campos tan diversos como la ingeniería, la economía, la biología y la inteligencia artificial.


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