Основные понятия вероятности

Введение в вероятность

Вероятность — это мера вероятности наступления события. Это математическая концепция, используемая для оценки вероятности наступления события. Вероятность помогает нам принимать решения и прогнозировать будущие события. Математически вероятность определяется как числовое выражение того, насколько вероятно, что событие произойдет или что утверждение истинно. Она варьируется от 0 до 1, где 0 означает невозможность, а 1 — уверенность.

Пространства выборки и события

Прежде чем углубляться в вероятность, давайте поймем термины пространство выборки и событие.

Пространство выборки

Пространство выборки эксперимента — это множество всех возможных исходов. Например, пространство выборки для подбрасывания монеты: {орел, решка}, а для броска кубика — {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Пространство выборки для подбрасывания монеты: {Орел, Решка}

Пространство выборки для броска кубика: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

События

Событие — это подмножество пространства выборки. Это множество исходов эксперимента, которое соответствует конкретному исходу или комбинации исходов. В случае броска кубика, если вы хотите найти вероятность получения четного числа, событие может быть {2, 4, 6}.

Событие выбрасывания четного числа: {2, 4, 6}

Вероятность события

Вероятность события вычисляется путем деления количества благоприятных исходов на общее количество возможных исходов. Формула выглядит следующим образом:

P(Событие) = Количество благоприятных исходов / Общее количество возможных исходов

Рассмотрим пример, когда нам нужно найти вероятность выбрасывания 3 на стандартном шестигранном кубике:

• Количество благоприятных исходов: 1 (так как на кубике только одна «3»)
• Общее количество возможных исходов: 6 (так как у кубика шесть граней)

Вероятность такова:

P(выбрасывание 3) = 1 / 6

Понимание вероятности на примере

Представьте себе вращающееся колесо, разделенное на четыре равные части: красную, зеленую, синюю и желтую.

Если вы вращаете колесо, каковы шансы попасть на красный?

• Количество благоприятных исходов: 1
• Общее количество возможных исходов: 4 (красный, зеленый, синий, желтый)

Вероятность такова:

P(попадание на Красный) = 1 / 4 = 0,25

Теоретическая и экспериментальная вероятность

Вероятность может быть выражена в двух формах: теоретическая вероятность и экспериментальная вероятность.

Теоретическая вероятность

Теоретическая вероятность определяется возможными исходами события, при условии, что каждый исход имеет равные шансы на наступление. Она основана на логике или расчетах, а не на экспериментах.

Например, теоретическая вероятность выпадения орла при подбрасывании монеты равна 1/2, поскольку существует два возможных исхода (орел и решка), и каждый из них с равной вероятностью может произойти.

P(Теоретическая, попадание на Орел) = 1 / 2

Экспериментальная вероятность

Экспериментальная вероятность определяется путем проведения экспериментов или опросов и сбора данных о фактических исходах. Эта форма вероятности основана на наблюдениях, а не на расчетах.

Например, если вы подбрасываете монету 100 раз, и она выпадает орлом 48 раз, экспериментальная вероятность выпадения орла:

P(Экспериментальная, попадание на Орел) = 48 / 100 = 0,48

Обратите внимание, что экспериментальная вероятность может отличаться от теоретической из-за ограниченного количества испытаний и случайности.

Независимые и зависимые события

События можно классифицировать как независимые или зависимые, в зависимости от того, оказывают ли они взаимное влияние друг на друга.

Независимые события

Два события считаются независимыми, если наступление одного события не влияет на вероятность наступления другого. Например, бросание кубика и подбрасывание монеты являются независимыми событиями, потому что результат бросания кубика не влияет на результат подбрасывания монеты.

P(A и B) = P(A) × P(B)

Зависимые события

Два события считаются зависимыми, если наступление одного события влияет на вероятность наступления другого. Например, вытягивание карточки из колоды без возврата является зависимым событием, потому что результат вытягивания первой карты влияет на результат вытягивания второй карты.

P(A и B) = P(A) × P(B|A)

где P(B|A) — вероятность наступления события B при том, что событие A наступило.

Комплементарные события

Комплементарные события — это пары событий, когда одно событие происходит только в том случае, если другое событие не происходит. Сумма вероятностей комплементарных событий всегда равна 1.

Например, при подбрасывании монеты результат может быть либо орлом, либо решкой. Получение орла при подбрасывании монеты и не получение орла (что есть решка) являются комплементарными событиями.

P(A) + P(Не A) = 1

где P(A) — вероятность события A, а P(Не A) — вероятность того, что событие A не произойдет.

Взаимоисключающие и невзаимоисключающие события

События также можно классифицировать как взаимоисключающие или не взаимно исключающие в зависимости от того, могут ли они происходить одновременно.

Взаимоисключающие события

Взаимоисключающие события не могут происходить одновременно. Например, при броске кубика события получения 2 и 5 являются взаимоисключающими, потому что они не могут происходить одновременно.

P(A или B) = P(A) + P(B)

Невзаимоисключающие события

Невзаимоисключающие события могут происходить одновременно. Например, в стандартной колоде карт вытягивание красной карты и вытягивание червы могут произойти одновременно, потому что червы — это красные карты.

P(A или B) = P(A) + P(B) - P(A и B)

где P(A и B) — вероятность того, что события A и B происходят одновременно.

Заключение

Вкратце, вероятность — это фундаментальное понятие, измеряющее вероятность наступления событий. Она необходима для прогнозирования и принятия решений в повседневной жизни. Понимание основных понятий вероятности, таких как пространство выборки, события, независимые и зависимые события, комплементарные события и взаимоисключающие события, позволяет нам решать широкий круг задач статистически.

По мере углубления в изучение вероятности эти основные понятия формируют основу для более сложных тем и применений в различных областях, включая финансы, науку, инженерию и т.д.

комментарии