11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

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Conceitos básicos de probabilidade


Introdução à probabilidade

A probabilidade é uma medida da probabilidade de ocorrência de um evento. É um conceito matemático usado para estimar a probabilidade de ocorrência de um evento. A probabilidade nos ajuda a tomar decisões e prever eventos futuros. Matematicamente, a probabilidade é definida como uma declaração numérica de quão provável é que um evento ocorra ou quão provável é que uma proposição seja verdadeira. Varía de 0 a 1, onde 0 representa impossibilidade e 1 representa certeza.

Espaço amostral e eventos

Antes de nos aprofundarmos na probabilidade, vamos entender os termos espaço amostral e evento.

Espaço amostral

O espaço amostral de um experimento é o conjunto de todos os resultados possíveis. Por exemplo, o espaço amostral para o lançamento de uma moeda é {cara, coroa} e para o lançamento de um dado é {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Espaço amostral para o lançamento de uma moeda: {Cara, Coroa}
Espaço amostral para o lançamento de um dado: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Eventos

Um evento é um subconjunto do espaço amostral. É o conjunto de resultados de um experimento que correspondem a um resultado particular ou combinação de resultados. No caso do lançamento de um dado, se você quiser encontrar a probabilidade de se obter um número par, o evento poderia ser {2, 4, 6}.

Evento de obter um número par: {2, 4, 6}

Probabilidade de um evento

A probabilidade de um evento é calculada dividindo o número de resultados favoráveis pelo número total de resultados possíveis. A fórmula é:

P(Evento) = Número de Resultados Favoráveis / Número Total de Resultados Possíveis

Vamos considerar um exemplo em que precisamos encontrar a probabilidade de sair um 3 em um dado padrão de seis lados:

  • Número de resultados favoráveis: 1 (já que há apenas um '3' no dado)
  • Número total de resultados possíveis: 6 (já que há seis faces)

A probabilidade é a seguinte:

P(obter um 3) = 1 / 6

Compreendendo a probabilidade com um exemplo

Imagine um girador dividido em quatro partes iguais: vermelho, verde, azul e amarelo.

Red Green Blue Yellow

Se você girar o girador, quais são as chances de parar no vermelho?

  • Número de resultados favoráveis: 1
  • Número total de resultados possíveis: 4 (vermelho, verde, azul, amarelo)

A probabilidade é a seguinte:

P(parar no Vermelho) = 1 / 4 = 0,25

Probabilidade teórica versus experimental

A probabilidade pode ser expressa em duas formas: probabilidade teórica e probabilidade experimental.

Probabilidade teórica

A probabilidade teórica é determinada pelos resultados possíveis de um evento, assumindo que cada resultado tem igual chance de ocorrer. Baseia-se na lógica ou em cálculos, ao invés de experimentos.

Por exemplo, a probabilidade teórica de obter cara ao lançar uma moeda é 1/2, porque há dois resultados possíveis (cara e coroa), e cada um tem a mesma probabilidade de ocorrer.

P(Teórica, obter Cara) = 1 / 2

Probabilidade experimental

A probabilidade experimental é determinada pela realização de experimentos ou pesquisas e coleta de dados sobre resultados reais. Esta forma de probabilidade baseia-se na observação, ao invés de no cálculo.

Por exemplo, se você lançar uma moeda 100 vezes e ela der cara 48 vezes, a probabilidade experimental de dar cara é:

P(Experimental, obter Cara) = 48 / 100 = 0,48

Note que a probabilidade experimental pode diferir da probabilidade teórica devido ao número limitado de tentativas e à aleatoriedade.

Eventos independentes e dependentes

Os eventos podem ser classificados como independentes ou dependentes, com base em se seus resultados afetam um ao outro.

Eventos independentes

Dois eventos são considerados independentes se a ocorrência de um evento não afeta a probabilidade de ocorrência do outro. Por exemplo, lançar um dado e jogar uma moeda são eventos independentes, pois o resultado de lançar o dado não afeta o resultado de jogar uma moeda.

P(A e B) = P(A) × P(B)

Eventos dependentes

Dois eventos são considerados dependentes se a ocorrência de um evento afeta a probabilidade de ocorrência do outro evento. Por exemplo, tirar uma carta de um baralho sem reposição é um evento dependente, pois o resultado de tirar a primeira carta afeta o resultado de tirar a segunda carta.

P(A e B) = P(A) × P(B|A)

onde P(B|A) é a probabilidade de ocorrência do evento B dado que o evento A ocorreu.

Eventos complementares

Eventos complementares são pares de eventos onde um evento ocorre apenas se o outro evento não ocorre. A soma das probabilidades dos eventos complementares é sempre 1.

Por exemplo, ao lançar uma moeda, o resultado é cara ou coroa. Obter cara em um lançamento de moeda e não obter cara (que é coroa) em um lançamento de moeda são eventos complementares.

P(A) + P(Não A) = 1

onde P(A) é a probabilidade do evento A, e P(Não A) é a probabilidade de não ocorrer o evento A.

Eventos mutuamente exclusivos e não mutuamente exclusivos

Os eventos também podem ser classificados como mutuamente exclusivos ou não exclusivos, dependendo de poderem ocorrer simultaneamente.

Eventos mutuamente exclusivos

Eventos mutuamente exclusivos não podem ocorrer ao mesmo tempo. Por exemplo, ao lançar um dado, os eventos de obter um 2 e um 5 são mutuamente exclusivos, pois não podem ocorrer simultaneamente.

P(A ou B) = P(A) + P(B)

Eventos não mutuamente exclusivos

Eventos não mutuamente exclusivos podem ocorrer ao mesmo tempo. Por exemplo, em um baralho padrão de cartas, tirar uma carta vermelha e tirar uma carta de copas pode ocorrer simultaneamente, pois copas são cartas vermelhas.

P(A ou B) = P(A) + P(B) - P(A e B)

Onde P(A e B) é a probabilidade de ambos os eventos A e B ocorrerem simultaneamente.

Conclusão

Em suma, a probabilidade é um conceito fundamental que mede a probabilidade de ocorrência de eventos. É essencial para fazer previsões e tomar decisões no dia a dia. Compreender conceitos básicos de probabilidade, como espaço amostral, eventos, eventos independentes e dependentes, eventos complementares e eventos mutuamente exclusivos, nos equipa com o conhecimento para resolver uma ampla gama de problemas estatisticamente.

À medida que você avança no aprendizado de probabilidade, esses conceitos fundamentais formam a base para tópicos e aplicações mais avançadas em várias áreas, incluindo finanças, ciência, engenharia, etc.


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