बुनियादी संभावना अवधारणाएँ

संभावना की परिचय

संभावना किसी घटना के घटित होने की संभावना का माप है। यह एक गणितीय अवधारणा है जो किसी घटना के घटित होने की संभावना का अनुमान लगाने में उपयोगी है। संभावना हमें निर्णय लेने और भविष्य की घटनाओं का पूर्वानुमान लगाने में मदद करती है। गणितीय रूप से, संभावना को एक संख्यात्मक वक्तव्य के रूप में परिभाषित किया जाता है जिससे यह निर्धारित होता है कि कोई घटना कितनी संभावित है या कोई प्रस्तावना कितनी सत्य है। यह 0 से 1 के बीच होती है, जहाँ 0 असंभवता दर्शाता है और 1 निश्चितता दर्शाता है।

नमूना स्थान और घटनाएँ

संभावना में गहराई में जाने से पहले, आइए नमूना स्थान और घटना के शब्दों को समझें।

नमूना स्थान

नमूना स्थान किसी प्रयोग का सभी संभावित परिणामों का समूह है। उदाहरण के लिए, एक सिक्का उछालने का नमूना स्थान {सिर, धड़} है और एक पासे को उछालने का {1, 2, 3, 4, 5, 6} है।

सिक्का उछालने का नमूना स्थान: {सिर, धड़}

पासा उछालने का नमूना स्थान: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

घटनाएँ

एक घटना नमूना स्थान का एक उपसमुच्चय है। यह किसी प्रयोग के उन परिणामों का जमावड़ा है जो किसी विशेष परिणाम या परिणामों के संयोजन से संबंधित होते हैं। पासा उछालने के मामले में, यदि आप एक सम संख्या प्राप्त करने की संभावना जानना चाहें, तो घटना {2, 4, 6} हो सकती है।

सम संख्या उछालने की घटना: {2, 4, 6}

किसी घटना की संभावना

किसी घटना की संभावना को अनुकूल परिणामों की संख्या को सभी संभावित परिणामों की कुल संख्या से विभाजित करके ज्ञात किया जाता है। सूत्र इस प्रकार है:

P(घटना) = अनुकूल परिणामों की संख्या / सभी संभावित परिणामों की कुल संख्या

आइए एक उदाहरण पर विचार करें जहाँ हमें एक मानक छः पक्षीय पासे पर 3 प्राप्त करने की संभावना ज्ञात करनी है:

• अनुकूल परिणामों की संख्या: 1 (क्योंकि पासे पर केवल एक '3' है)
• सभी संभावित परिणामों की कुल संख्या: 6 (क्योंकि इसमें छह पक्ष होते हैं)

संभावना इस प्रकार है:

P(3 उछालना) = 1 / 6

उदाहरण द्वारा संभावना को समझना

कल्पना करें कि एक घूमने वाला चक्र चार समान भागों में बंटा है: लाल, हरा, नीला और पीला।

यदि आप चक्र को घुमाते हैं, तो लाल पर उतरने की संभाव्यता क्या है?

• अनुकूल परिणामों की संख्या: 1
• सभी संभावित परिणामों की कुल संख्या: 4 (लाल, हरा, नीला, पीला)

संभावना इस प्रकार है:

P(लाल पर उतरना) = 1 / 4 = 0.25

सिद्धांतात्मक बनाम प्रायोगिक संभावना

संभावना को दो रूपों में व्यक्त किया जा सकता है: सिद्धांतात्मक संभावना और प्रायोगिक संभावना।

सिद्धांतात्मक संभावना

सिद्धांतात्मक संभावना घटना के संभावित परिणामों द्वारा निर्धारित होती है, यह मानते हुए कि प्रत्येक परिणाम के घटित होने की समान संभावना है। यह तर्क या गणनाओं के आधार पर होती है न कि प्रयोगों के आधर पर।

उदाहरण के लिए, सिक्का उछालने पर सिर आने की सिद्धांतात्मक संभावना 1/2 है, क्योंकि दो संभावित परिणाम होते हैं (सिर और धड़), और प्रत्येक के घटित होने की समान संभावना होती है।

P(सिद्धांतात्मक, सिर पर उतरना) = 1 / 2

प्रायोगिक संभावना

प्रायोगिक संभावना प्रयोगों या सर्वेक्षणों के आयोजन करके और वास्तविक परिणामों पर डेटा संग्रहण करके निर्धारित होती है। इस प्रकार की संभावना अवलोकन के आधार पर होती है न कि गणना के।

उदाहरण के लिए, यदि आप एक सिक्का 100 बार उछालते हैं और यह 48 बार सिर आता है, तो सिर पर आने की प्रायोगिक संभावना है:

P(प्रायोगिक, सिर पर उतरना) = 48 / 100 = 0.48

ध्यान दें कि प्रायोगिक संभावना सीमित प्रयासों और यादृच्छिकता के कारण सिद्धांतात्मक संभावना से भिन्न हो सकती है।

स्वतंत्र और आश्रित घटनाएँ

घटनाओं को उनकी परिणति पर आधारित इस बात पर कि उनके परिणाम एक-दूसरे को प्रभावित करते हैं या नहीं, स्वतंत्र या आश्रित के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है।

स्वतंत्र घटनाएँ

दो घटनाएँ स्वतंत्र मानी जाती हैं यदि एक घटना का घटित होना अन्य घटना के घटित होने की संभावना को प्रभावित नहीं करता। उदाहरण के लिए, पासा फेंकना और सिक्का उछालना स्वतंत्र घटनाएँ हैं क्योंकि पासा फेंकने का परिणाम सिक्का उछालने के परिणाम को प्रभावित नहीं करता।

P(A और B) = P(A) × P(B)

आश्रित घटनाएँ

दो घटनाएँ आश्रित मानी जाती हैं यदि एक घटना का घटित होना अन्य घटना के घटित होने की संभावना को प्रभावित करता है। उदाहरण के लिए, किसी तालिका से कार्ड निकालना बिना पुनर्स्थापन कोइ आश्रित घटना है क्योंकि पहले कार्ड का परिणाम दूसरे कार्ड के परिणाम को प्रभावित करता है।

P(A और B) = P(A) × P(B|A)

जहाँ P(B|A) घटना A घटित होने के बाद घटना B के घटित होने की संभावना है।

पूरक कार्यक्रम

पूरक घटनाएँ घटनाओं के जोड़े होते हैं, जहाँ एक घटना तभी घटित होती है जब दूसरी घटना नहीं घटित होती। पूरक घटनाओं की संभावनाओं का योग हमेशा 1 होता है।

उदाहरण के लिए, एक सिक्का उछालने में, परिणाम या तो सिर होता है या धड़। सिक्का उछालने में सिर प्राप्त करना और सिर न प्राप्त करना (जो कि धड़ होता है) पूरक घटनाएँ होती हैं।

P(A) + P(Not A) = 1

जहाँ P(A) घटना A की संभावना है, और P(Not A) घटना A के न घटित होने की संभावना है।

पारस्परिक रूप से असंगत और गैर-पारस्परिक रूप से असंगत घटनाएँ

घटनाओं को पारस्परिक रूप से असंगत या गैर-असंगत के रूप में इस आधार पर वर्गीकृत किया जा सकता है कि वे एक साथ घटित हो सकती हैं या नहीं।

पारस्परिक रूप से असंगत घटनाएँ

पारस्परिक रूप से असंगत घटनाएँ एक ही समय में नहीं हो सकतीं। उदाहरण के लिए, जब पासा फेंका जाता है, तो 2 और 5 प्राप्त करने की घटनाएँ पारस्परिक रूप से असंगत होती हैं क्योंकि वे एक साथ नहीं हो सकतीं।

P(A या B) = P(A) + P(B)

गैर-पारस्परिक रूप से असंगत घटनाएँ

गैर-पारस्परिक रूप से असंगत घटनाएँ एक ही समय में घटित हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, एक मानक ताश के पत्तों के पैक में, एक लाल पत्ता निकालना और एक दिल निकालना एक साथ हो सकते हैं क्योंकि दिल लाल पत्ते होते हैं।

P(A या B) = P(A) + P(B) - P(A और B)

जहाँ P(A और B) घटना A और B के एक साथ घटित होने की संभावना होती है।

निष्कर्ष

संक्षेप में, संभावना एक मूलभूत अवधारणा है जो घटनाओं के घटित होने की संभावना को मापती है। यह दैनिक जीवन में भविष्यवाणियाँ और निर्णय लेने के लिए अनिवार्य है। नमूना स्थान, घटनाएँ, स्वतंत्र और आश्रित घटनाएँ, पूरक घटनाएँ, और पारस्परिक रूप से असंगत घटनाएँ जैसी बुनियादी संभावना अवधारणाओं को समझना हमें विभिन्न समस्याओं का सांख्यिकीय रूप से समाधान करने की क्षमता प्रदान करता है।

संभावना सीखने में प्रगति के रूप में, ये बुनियादी अवधारणाएँ विभिन्न क्षेत्रों में उन्नत विषयों और अनुप्रयोगों के लिए आधार बनाती हैं, जिनमें वित्त, विज्ञान, अभियांत्रिकी आदि शामिल हैं।

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