Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Conceptos básicos de probabilidad


Introducción a la probabilidad

La probabilidad es una medida de la probabilidad de que ocurra un evento. Es un concepto matemático utilizado para estimar la probabilidad de que ocurra un evento. La probabilidad nos ayuda a tomar decisiones y a predecir eventos futuros. Matemáticamente, la probabilidad se define como una declaración numérica de cuán probable es que un evento ocurra o cuán probable es que una proposición sea verdadera. Va desde 0 a 1, donde 0 representa imposibilidad y 1 representa certeza.

Espacio muestral y eventos

Antes de profundizar en la probabilidad, entendamos los términos espacio muestral y evento.

Espacio muestral

El espacio muestral de un experimento es el conjunto de todos los resultados posibles. Por ejemplo, el espacio muestral para un lanzamiento de moneda es {cara, cruz} y para un lanzamiento de dado es {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Espacio muestral para un lanzamiento de moneda: {Cara, Cruz}
Espacio muestral para lanzar un dado: {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Eventos

Un evento es un subconjunto del espacio muestral. Es el conjunto de resultados de un experimento que corresponden a un resultado particular o combinación de resultados. En el caso de lanzar un dado, si deseas encontrar la probabilidad de obtener un número par, el evento podría ser {2, 4, 6}.

Evento de obtener un número par: {2, 4, 6}

Probabilidad de un evento

La probabilidad de un evento se calcula dividiendo el número de resultados favorables por el número total de resultados posibles. La fórmula es:

P(Evento) = Número de Resultados Favorables / Número Total de Resultados Posibles

Consideremos un ejemplo en el que necesitamos encontrar la probabilidad de obtener un 3 en un dado estándar de seis caras:

  • Número de resultados favorables: 1 (ya que hay solo un '3' en el dado)
  • Número total de resultados posibles: 6 (ya que hay seis caras)

La probabilidad es esta:

P(obtener un 3) = 1 / 6

Entendiendo la probabilidad con un ejemplo

Imagina un girodivisor dividido en cuatro partes iguales: rojo, verde, azul y amarillo.

Rojo Verde Azul Amarillo

Si giras el girodivisor, ¿cuáles son las posibilidades de caer en rojo?

  • Número de resultados favorables: 1
  • Número total de resultados posibles: 4 (rojo, verde, azul, amarillo)

La probabilidad es esta:

P(caer en Rojo) = 1 / 4 = 0.25

Probabilidad teórica versus experimental

La probabilidad se puede expresar en dos formas: probabilidad teórica y probabilidad experimental.

Probabilidad teórica

La probabilidad teórica se determina por los resultados posibles de un evento, asumiendo que cada resultado tiene una posibilidad igual de ocurrir. Se basa en la lógica o cálculos en lugar de experimentos.

Por ejemplo, la probabilidad teórica de obtener cara al lanzar una moneda es 1/2, porque hay dos resultados posibles (cara y cruz), y cada uno tiene la misma probabilidad de ocurrir.

P(Teórica, caer en Cara) = 1 / 2

Probabilidad experimental

La probabilidad experimental se determina realizando experimentos o encuestas y recopilando datos sobre resultados reales. Esta forma de probabilidad se basa en la observación en lugar de cálculos.

Por ejemplo, si lanzas una moneda 100 veces y sale cara 48 veces, la probabilidad experimental de que salga cara es:

P(Experimental, caer en Cara) = 48 / 100 = 0.48

Note que la probabilidad experimental puede diferir de la probabilidad teórica debido al número limitado de ensayos y al azar.

Eventos independientes y dependientes

Los eventos pueden clasificarse como independientes o dependientes, según si sus resultados se afectan entre sí.

Eventos independientes

Dos eventos se consideran independientes si la ocurrencia de un evento no afecta la probabilidad de la ocurrencia del otro. Por ejemplo, lanzar un dado y lanzar una moneda son eventos independientes porque el resultado de lanzar el dado no afecta el resultado de lanzar una moneda.

P(A y B) = P(A) × P(B)

Eventos dependientes

Dos eventos se consideran dependientes si la ocurrencia de un evento afecta la probabilidad del otro evento. Por ejemplo, sacar una carta de una baraja sin reemplazo es un evento dependiente porque el resultado de sacar la primera carta afecta el resultado de sacar la segunda carta.

P(A y B) = P(A) × P(B|A)

donde P(B|A) es la probabilidad de que ocurra el evento B dado que ocurre el evento A.

Eventos complementarios

Los eventos complementarios son pares de eventos donde un evento ocurre sólo si el otro evento no ocurre. La suma de las probabilidades de eventos complementarios siempre es 1.

Por ejemplo, al lanzar una moneda, el resultado es cara o cruz. Obtener cara en un lanzamiento de moneda y no obtener cara (que es cruz) en un lanzamiento de moneda son eventos complementarios.

P(A) + P(No A) = 1

donde P(A) es la probabilidad de que ocurra el evento A, y P(No A) es la probabilidad de que el evento A no ocurra.

Eventos mutuamente excluyentes y no mutuamente excluyentes

Los eventos también pueden clasificarse como mutuamente excluyentes o no excluyentes, dependiendo de si pueden ocurrir simultáneamente.

Eventos mutuamente excluyentes

Los eventos mutuamente excluyentes no pueden ocurrir al mismo tiempo. Por ejemplo, cuando se lanza un dado, los eventos de obtener un 2 y un 5 son mutuamente excluyentes porque no pueden ocurrir simultáneamente.

P(A o B) = P(A) + P(B)

Eventos no mutuamente excluyentes

Los eventos no mutuamente excluyentes pueden ocurrir al mismo tiempo. Por ejemplo, en una baraja estándar de cartas, sacar una carta roja y sacar un corazón pueden ocurrir simultáneamente porque los corazones son cartas rojas.

P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B)

Donde P(A y B) es la probabilidad de que ambos eventos A y B ocurran simultáneamente.

Conclusión

En resumen, la probabilidad es un concepto fundamental que mide la probabilidad de que ocurran eventos. Es esencial para hacer predicciones y tomar decisiones en la vida cotidiana. Comprender conceptos básicos de probabilidad como espacio muestral, eventos, eventos independientes y dependientes, eventos complementarios y eventos mutuamente excluyentes nos equipa con el conocimiento para abordar una amplia gama de problemas estadísticamente.

A medida que avanzas en el aprendizaje de la probabilidad, estos conceptos fundamentales forman la base para temas más avanzados y aplicaciones en varios campos, incluyendo finanzas, ciencia, ingeniería, etc.


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