ベクトルと行列

ベクトルと行列は、特に線形代数学の分野において、数学の基本的な概念です。これらは方程式のシステムを解くのに重要であり、変換を行う際やさまざまな数学モデルを表現する際に重要です。それでは、ベクトルと行列の定義、操作、および応用を理解することで、詳細に踏み込んでいきましょう。

ベクトルの理解

ベクトルは、たとえば大きさと方向を持つ量を説明する数のリストと考えることができます。ベクトルは、力、速度、加速度といった物理量を表す際によく使用されます。ベクトルの簡単な視覚例は、空間内のある位置から別の位置への矢印です。

表記法と表示方法

ベクトルは通常、vやuといった文字に上に矢印をつけて表します：(vec{v})または(vec{u})。ただし、プレーンテキストでは太字がよく使われ、例えばvやuというように表されます。

2次元空間では、ベクトルは次のように表されます：

V = [x, y]

3次元空間では、ベクトルは次の形を取ります：

V = [x, y, z]

ここで、x、y、zはそれぞれベクトルの成分であり、X軸、Y軸、Z軸に沿った位置を示します。

ベクトルの加算

ベクトルの加算は単純で、「頭から尾」ルールに従います。2つのベクトルを考えます：

A = [A1, A2]
b = [b1, b2]

それらの和cは、対応する成分を加算することで計算されます：

c = a + b = [(a1 + b1), (a2 + b2)]

ビジュアル：

スカラー倍

ベクトルはスカラー（実数）を用いてその大きさを増減させることができます。kがスカラーで、v = [v1, v2]がベクトルである場合、スカラー倍は次のようになります：

k * v = [k * v1, k * v2]

もしk = 2でv = [1, 3]であれば：

2 * [1, 3] = [2, 6]

行列の理解

行列は数が行と列に並べられた長方形配列です。これらは線形方程式のシステムを解いたり、変換を行ったり、多様な分野におけるデータ構造を管理したりする際に使用されます。例えばコンピューターグラフィックスの分野で使用されます。

行列表記

行列は通常大文字で示され、次のように表示されます：

A = [A11 A12]
    [A21 A22]

これは2x2行列で、a11、a12、a21、a22がその要素です。

行列の寸法

行列の寸法はmxnの形式で表され、mは行の数、nは列の数を示します。例えば、行列：

b = [1 2 3]
    [4 5 6]
    [7 8 9]

その寸法は3x3です。

行列の加算

行列の加算はベクトルの加算に似ており、両方の行列が同じ寸法である場合にのみ可能です。

2つの行列を考えます：

C = [C11 C12]
    [C21 C22]

D = [D11 D12]
    [D21 D22]

それらの和は要素ごとに計算されます：

C + D = [C11 + D11, C12 + D12]
        [C21 + D21, C22 + D22]

行列のスカラー倍

ベクトルと同様に、行列もスカラーで乗算されます。

kがスカラーでEが行列の場合：

E = [E11 E12]
    [E21 E22]

スカラー乗算は次のようになります：

k * e = [k * e11, k * e12]
        [K*E21, K*E22]

行列の乗算

行列の乗算は少し複雑で、最初の行列の列の数と2番目の行列の行の数が一致するときにのみ定義されます。

2つの行列を考えます：

f = [f11 f12]
    [F21 F22]

G = [G11 G12]
    [G21 G22]

FとGの積は次のようになります：

f * g = [(f11 * g11 + f12 * g21) (f11 * g12 + f12 * g22)]
        [(f21 * g11 + f22 * g21) (f21 * g12 + f22 * g22)]

単位行列

単位行列は対角線上に1があり、他の場所には0がある正方行列です。行列における数字の1に相当します。

例えば、3x3の単位行列：

I = [1 0 0]
    [0 1 0]
    [0 0 1]

任意の行列に単位行列を乗じても変化しません。

行列式と逆行列

行列式は、正方行列から計算できる特別な数です。行列が逆行列を持つかどうかといった情報を提供します。

2x2行列の場合：

J = [J11 J12]
    [J21 J22]

行列式は次のように計算されます：

det(J) = j11 * j22 - j12 * j21

行列式が0でない場合、この行列は逆行列を持ち、J ^-1で表され、次のように計算されます：

J ^-1 = (1/dit(J)) * [J22 -J12]
                              [-j21 j11]