Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

Grado 11 ↓


Vectores y matrices


Los vectores y las matrices son conceptos fundamentales en matemáticas, especialmente en el campo del álgebra lineal. Son importantes para resolver sistemas de ecuaciones, realizar transformaciones y representar varios modelos matemáticos. Vamos a profundizar en los detalles de los vectores y las matrices comprendiendo sus definiciones, operaciones y aplicaciones.

Comprendiendo el vector

Un vector puede ser pensado como una lista de números que describe una cantidad con magnitud y dirección. Los vectores a menudo se usan para representar cantidades físicas como fuerza, velocidad y aceleración. Un ejemplo visual simple de un vector es una flecha que apunta de una posición en el espacio a otra.

Notación y representación

Los vectores generalmente se representan usando letras como v o u con una flecha en la parte superior: (vec{v}) o (vec{u}). Sin embargo, en texto simple, a menudo se usa negrita, como v o u.

En espacio bidimensional, un vector puede representarse como:

V = [x, y]

En espacio tridimensional, un vector toma la siguiente forma:

V = [x, y, z]

Aquí, x, y y z son los componentes del vector, indicando su posición a lo largo de los ejes X, Y y Z, respectivamente.

Suma de vectores

La suma de vectores es simple y sigue la regla de "cola con cabeza". Considere dos vectores:

A = [A1, A2]
b = [b1, b2]

Su suma c se calcula sumando los componentes correspondientes:

c = a + b = [(a1 + b1), (a2 + b2)]

Visual:

A B A+B

Multiplicación escalar

Los vectores pueden multiplicarse por un escalar (un número real) para aumentar o disminuir su magnitud. Si k es un escalar y v = [v1, v2] es un vector, entonces la multiplicación escalar es la siguiente:

k * v = [k * v1, k * v2]

Si k = 2 y v = [1, 3], entonces:

2 * [1, 3] = [2, 6]

Comprendiendo las matrices

Las matrices son arreglos rectangulares de números dispuestos en filas y columnas. Se utilizan para resolver sistemas de ecuaciones lineales, realizar transformaciones y gestionar estructuras de datos en varios campos como gráficos por computador.

Notación de matrices

La matriz se denota generalmente por una letra mayúscula, como A, y se ve así:

A = [A11 A12]
    [A21 A22]

Esta es una matriz 2x2, donde a11, a12, a21 y a22 son los elementos de la matriz.

Dimensiones de la matriz

Las dimensiones de una matriz se dan en la forma mxn, donde m es el número de filas y n es el número de columnas. Por ejemplo, una matriz:

b = [1 2 3]
    [4 5 6]
    [7 8 9]

Su dimensión es 3x3.

Suma de matrices

La suma de matrices es similar a la suma de vectores y solo es posible cuando ambas matrices tienen las mismas dimensiones.

Considere dos matrices:

C = [C11 C12]
    [C21 C22]

D = [D11 D12]
    [D21 D22]

Su suma se calcula elemento por elemento:

C + D = [C11 + D11, C12 + D12]
        [C21 + D21, C22 + D22]

Multiplicación escalar de matrices

Al igual que los vectores, las matrices también pueden multiplicarse por escalares.

Si k es un escalar y E es una matriz:

E = [E11 E12]
    [E21 E22]

La multiplicación escalar es:

k * e = [k * e11, k * e12]
        [k * E21, k * E22]

Multiplicación de matrices

La multiplicación de matrices es un poco más complicada y solo está definida cuando el número de columnas en la primera matriz coincide con el número de filas en la segunda matriz.

Considere dos matrices:

f = [f11 f12]
    [F21 F22]

G = [G11 G12]
    [G21 G22]

El producto de F y G es:

f * g = [(f11 * g11 + f12 * g21) (f11 * g12 + f12 * g22)]
        [(f21 * g11 + f22 * g21) (f21 * g12 + f22 * g22)]

Matriz identidad

La matriz identidad es una matriz cuadrada con 1's en la diagonal y 0's en otras partes. Es el equivalente en matriz al número 1.

Por ejemplo, la matriz identidad 3x3:

I = [1 0 0]
    [0 1 0]
    [0 0 1]

Cualquier matriz multiplicada por la matriz identidad permanece sin cambios.

Determinantes e inversos

El determinante es un número especial que puede calcularse a partir de una matriz cuadrada. Proporciona información sobre la matriz tal como si tiene un inverso o no.

Para una matriz 2x2:

J = [J11 J12]
    [J21 J22]

El determinante se calcula de la siguiente manera:

det(J) = j11 * j22 - j12 * j21

Si el determinante no es cero, entonces la matriz tiene un inverso, denotado por J -1, y se calcula como:

J -1 = (1/det(J)) * [J22 -J12]
                              [-j21 j11]

Aplicaciones de vectores y matrices

Los vectores y las matrices se utilizan en varias aplicaciones en diferentes campos.

Física e ingeniería

Los vectores ayudan a representar cantidades como fuerza y velocidad. Las matrices ayudan a analizar estrés y tensión en materiales.

Gráficos por computadora

Las matrices se usan para transformaciones como rotación, escalado y traslación de imágenes y objetos.

Economía

Las matrices ayudan a modelar sistemas económicos y resolver problemas de optimización.

Ciencias de la computación

En ciencias de la computación, las matrices son fundamentales en algoritmos, estructuras de datos y redes.

Figuras

Las matrices son cruciales para el análisis de datos multidisciplinario.

Conclusión

Comprender los vectores y las matrices proporciona una base para un estudio más profundo en matemáticas y sus aplicaciones en varias ciencias. Dominar estos temas es esencial para ingenieros, científicos y cualquier persona que trabaje con sistemas complejos.


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