Класс 11
  1. Алгебра  1.1. Понимание последовательностей и рядов в алгебре  1.1.1. Понимание арифметических последовательностей  1.1.2. Арифметические прогрессии  1.1.3. Понимание геометрических последовательностей  1.1.4. Понимание геометрических рядов  1.1.5. Сходимость и расходимость  1.1.6. Понимание "суммы до бесконечности" в алгебре  1.1.7. Обозначение Сигма  1.2. Комплексные числа  1.2.1. Понимание мнимых и комплексных чисел  1.2.2. Операции с комплексными числами  1.2.3. Полярная и декартова формы комплексных чисел  1.2.4. Комплексные сопряженные  1.2.5. Модуль и аргумент  1.2.6. Теорема Муавра  1.2.7. Степени и корни комплексных чисел  1.3. Бином Ньютона  1.3.1. Расширение бинома  1.3.2. Общие термины в биномиальной теореме  1.3.3. Биномиальный коэффициент  1.3.4. Применения биномиальной теоремы  1.3.5. Треугольник Паскаля
  2. Функции и графики  2.1. Типы задач  2.1.1. Полиномиальная функция  2.1.2. Рациональные функции  2.1.3. Экспоненциальная функция  2.1.4. Логарифмическая функция  2.1.5. Тригонометрические функции  2.1.6. Поштучная работа  2.2. Преобразование функций  2.2.1. Перевод  2.2.2. Понимание отражений в преобразованиях функций  2.2.3. Растяжение и растяжение  2.2.4. Понимание вращения в функциях и графиках  2.3. Обратная функция  2.3.1. Нахождение обратной функции  2.3.2. Графики обратных функций  2.3.3. Свойства обратных функций  2.3.4. Ограничения для обратных функций
  3. Тригонометрия  3.1. Тригонометрические отношения и идентичности  3.1.1. Основные тригонометрические отношения  3.1.2. Понимание пифагорейских тождеств в тригонометрии  3.1.3. Формулы суммы и разности углов  3.1.4. Формула двойного угла  3.1.5. Понимание формул половинного угла в тригонометрии  3.1.6. Формулы произведения к сумме и суммы к произведению  3.2. Тригонометрические уравнения  3.2.1. Решение тригонометрических уравнений  3.2.2. Общие решения в тригонометрических уравнениях  3.3. Графики тригонометрических функций  3.3.1. График синуса  3.3.2. Понимание графика косинуса  3.3.3. График тангенса  3.3.4. Регулировка амплитуды и длительности  3.3.5. Фазовое изменение на графике тригонометрических функций  3.4. Применение тригонометрии  3.4.1. Законы синусов и косинусов  3.4.2. Площадь треугольников  3.4.3. Решение треугольников  3.4.4. Подшипники и навигация
  4. Введение в математический анализ  4.1. Понимание пределов и непрерывности в математическом анализе  4.1.1. Понятие предела  4.1.2. Односторонние пределы  4.1.3. Понимание пределов на бесконечности в математическом анализе  4.1.4. Непрерывность функции  4.1.5. Типы разрывов  4.2. Дискриминация  4.2.1. Определение производной  4.2.2. Правила дифференцирования  4.2.3. Производные высшего порядка  4.2.4. Правило цепи  4.2.5. Правило произведения  4.2.6. Понимание правила частного в математическом анализе  4.3. Применение дифференцирования  4.3.1. Скорость изменения  4.3.2. Касательная и нормаль  4.3.3. Максимум и минимум  4.3.4. Понимание возрастающих и убывающих функций  4.3.5. Задачи оптимизации  4.3.6. График кривой  4.3.7. Связанные скорости в применениях дифференцирования  4.4. Что такое интеграция?  4.4.1. Первообразные  4.4.2. Неопределенный интеграл  4.4.3. Определенный интеграл  4.4.4. Основная теорема анализа  4.4.5. Техники интеграции  4.4.6. Понимание площади под кривой в интегрировании  4.5. Применения интегрирования  4.5.1. Площадь между кривыми  4.5.2. Объемы тел вращения  4.5.3. Понимание среднего значения функции в математическом анализе
  5. Векторы и матрицы  5.1. Векторы  5.1.1. Введение  5.1.2. Операции с векторами  5.1.3. Понимание скалярного произведения  5.1.4. Векторное произведение  5.1.5. Применение в геометрии  5.1.6. Проекция векторов  5.2. Матрицы  5.2.1. Типы матриц  5.2.2. Понимание операций с матрицами  5.2.3. Определители  5.2.4. Обратная матрица  5.2.5. Решение систем линейных уравнений  5.2.6. Правило Крамера
  6. Вероятность и статистика  6.1. Понимание вероятности в математике  6.1.1. Основные понятия вероятности  6.1.2. Условная вероятность  6.1.3. Введение в независимые и зависимые события в теории вероятностей  6.1.4. Теорема Байеса  6.1.5. Комбинаторная вероятность  6.2. Случайные величины  6.2.1. Дискретная случайная величина  6.2.2. Непрерывная случайная величина  6.2.3. Распределения вероятностей  6.3. Распределения вероятностей  6.3.1. Понимание биномиального распределения  6.3.2. Нормальное распределение  6.3.3. Распределение Пуассона  6.3.4. Равномерное распределение  6.4. Фигуры  6.4.1. Меры центральной тенденции  6.4.2. Меры разброса  6.4.3. Сбор и представление данных  6.4.4. Корреляция и Регрессия  6.4.5. Техники выборки
  7. Координатная геометрия  7.1. Прямые линии в координатной геометрии  7.1.1. Форма наклона и пересечения в координатной геометрии  7.1.2. Формула расстояния в прямых линиях  7.1.3. Понимание формулы средней точки в координатной геометрии  7.1.4. Угол между линиями  7.1.5. Уравнение прямых  7.2. Конические сечения  7.2.1. Круг  7.2.2. Введение в параболы  7.2.3. Эллипс в коническом сечении  7.2.4. Понимание гиперболы в конических сечениях  7.2.5. Свойства конических сечений  7.2.6. Параметрические уравнения конусов  7.2.7. Полярные координаты коник
  8. Арифметическая логика  8.1. Введение в логику в математической логике  8.1.1. Утверждения и логические связки  8.1.2. Таблицы истинности  8.1.3. Логическое равенство  8.1.4. Кванторы в логике и математической логике  8.1.5. Методы доказательств  8.2. Понимание доказательств в математической логике  8.2.1. Прямое доказательство  8.2.2. Косвенные доказательства  8.2.3. Понимание доказательства от противного  8.2.4. Доказательство по математической индукции

Класс 11 → Векторы и матрицы ↓


Матрицы


Матрицы — это фундаментальная концепция в математике, которая возникает в различных областях, таких как алгебра, статистика, физика, компьютерные науки и другие. Это мощный инструмент, который позволяет решать многие математические задачи, особенно те, которые включают несколько переменных или сложные линейные уравнения. В этом объяснении мы углубимся в концепцию матриц, их свойства, операции и применение.

Что такое матрица?

Матрица — это прямоугольная таблица чисел или символов, организованных в строки и столбцы. Каждый элемент матрицы обычно заключен в пару квадратных или круглых скобок. В записи общая матрица может быть представлена следующим образом:

A = [a 11 a 12 ... a 1n a 21 a 22 ... a 2n ... a m1 a m2 ... a mn ]

Здесь A – это матрица с m строками и n столбцами. Элементы, такие как a ij, индексируются по номерам строки и столбца. Например, a 21 относится к элементу, находящемуся во второй строке и в первом столбце матрицы.

Типы матриц

  • Строковая матрица: Матрица с одной строкой. Пример: 
        R = [1 2 3]
  • Столбцовая матрица: Матрица с одним столбцом. Пример: 
        C = [4 5 6]
  • Квадратная матрица: Матрица с равным числом строк и столбцов. Пример: 
        S = [7 8 9 10]
  • Диагональная матрица: Квадратная матрица, в которой все элементы вне главной диагонали равны нулю.
  • Единичная матрица: Диагональная матрица, где все диагональные элементы равны единице.
  • Нулевая матрица: Матрица, в которой все элементы равны нулю.

Обозначения и размеры матриц

При обсуждении матриц важно понимать их размерность или размер. Размерности матрицы задаются количеством строк и количеством столбцов. Например, матрица 3 на 2 означает матрицу с 3 строками и 2 столбцами. В записи это обозначается как матрица 3 × 2.

Элементы в матрице могут быть числами, символами или выражениями. Матрицы обычно записываются жирными заглавными буквами, такими как A, B или C.

Операции с матрицами

1. Сложение и вычитание

Матрицы можно складывать или вычитать, только если они имеют одинаковые размеры. Сложение (или вычитание) производится путем сложения (или вычитания) соответствующих элементов матриц.

Например, рассмотрим матрицы A и B:

A = [1 2 3 4] и B = [5 6 7 8] A + B = [1+5 2+6 3+7 4+8] = [6 8 10 12]

Также просто выполняется вычитание:

A - B = [1-5 2-6 3-7 4-8] = [-4 -4 -4 -4]

2. Умножение на скаляр

Умножение на скаляр involves multiplying each element of a matrix by a constant value, known as a scalar. If c is a scalar and A is a matrix, then the scalar multiplier cA is calculated as follows:

A = [1 2 3 4] c = 3 cA = 3 × [1 2 3 4] = [3×1 3×2 3×3 3×4] = [3 6 9 12]

3. Умножение матриц

Умножение матриц немного более сложное, чем сложение и умножение на скаляр. Две матрицы A и B можно умножать, если число столбцов в матрице A равно числу строк в матрице B. Результирующая матрица будет иметь размеры, соответствующие количеству строк из A и количеству столбцов из B.

A = [1 2 3 4] B = [5 6 7 8] AB = [(1×5 + 2×7) (1×6 + 2×8) (3×5 + 4×7) (3×6 + 4×8)] = [19 22 43 50]

Свойства умножения матриц:

  • Ассоциативный закон: (AB)C = A(BC)
  • Дистрибутивный закон: A(B + C) = AB + AC
  • Не коммутативно: AB ≠ BA (в общем случае)

Особые типы матриц

Единичная матрица

Единичная матрица — это квадратная матрица с 1 на главной диагонали и 0 в остальных местах. Она служит мультипликативной единицей в умножении матриц, как и число 1 является мультипликативной единицей для вещественных чисел.

I = [1 0 0 1] I . A = A . I = A

Транспонированная матрица

Транспонированная матрица, обозначаемая как A T, получается путем перестановки строк и столбцов матрицы.

A = [1 2 3 4 5 6] A T = [1 4 2 5 3 6]

Определитель и обратная матрица

Определитель

Определитель — это специальное число, которое можно вычислить из квадратной матрицы. Определитель матрицы 2×2 вычисляется следующим образом:

Если A = [ab cd], тогда det(A) = ad - bc.

Обратная матрица

Обратная матрица матрицы A представлена как A -1 и удовлетворяет уравнению:

A . A -1 = I

Только квадратные матрицы могут иметь обратную матрицу, и не все квадратные матрицы имеют обратную. Матрица обратима только если ее определитель не равен нулю.

Применение матриц

Матрицы имеют множество применений в различных областях. Вот некоторые общие примеры:

  • Решение систем уравнений: Матрицы часто используются для решения систем линейных уравнений с помощью метода Гаусса или обратной матрицы.
  • Компьютерная графика: В компьютерной графике матрицы используются для преобразований, таких как вращение, перемещение и масштабирование изображений.
  • Статистика: Матрицы используются в различных статистических методах, включая множественный регрессионный анализ.
  • Физика: Матрицы используются в физике для представления и решения различных физических систем и преобразований.

Визуальный пример с матрицами

Пример 1: Сумма двух матриц

A = [1 3] [2 4] B = [5 7] [6 8] A + B = [1+5 3+7] [2+6 4+8] = [6 10] [8 12]

Пример 2: Умножение на скаляр

B = [2 4] [1 3] 2B = 2 × [2 4] [1 3] = [4 8] [2 6]

Пример 3: Умножение матриц

A = [1 2] [3 4] B = [5 6] [7 8] AB = [(1×5 + 2×7) (1×6 + 2×8)] [(3×5 + 4×7) (3×6 + 4×8)] = [19 22] [43 50]

Понимание матриц и их операций обеспечивает прочную основу для изучения более сложных математических концепций. С практикой работа с матрицами может стать интуитивно понятной и очень полезной, особенно при решении сложных задач эффективно.


Класс 11 → 5.2


U
username
0%
завершено в Класс 11

← предыдущая (5.1.6)
Проекция векторов
следующая (5.2.1) →
Типы матриц

комментарии 



Матрицы

https://www.buddymath.com/g11/5.2?bmal=ru