11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

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Matrizes


Matrizes são um conceito fundamental em matemática que surgem em várias áreas, como álgebra, estatística, física, ciência da computação, entre outras. Elas são uma ferramenta poderosa que nos permite resolver muitos problemas matemáticos, especialmente aqueles que envolvem várias variáveis ou equações lineares complexas. Nesta explicação, vamos nos aprofundar no conceito de matrizes, suas propriedades, operações e aplicações.

O que é uma matriz?

Uma matriz é um arranjo retangular de números ou símbolos dispostos em linhas e colunas. Cada dígito ou elemento de uma matriz geralmente é colocado entre colchetes quadrados ou redondos. Em notação, uma matriz geral pode ser representada da seguinte forma:

A = [a 11 a 12 ... a 1n a 21 a 22 ... a 2n ... a m1 a m2 ... a mn ]

Aqui, A é uma matriz com m linhas e n colunas. Os elementos, como a ij, são indexados pelos seus números de linha e coluna. Por exemplo, a 21 refere-se ao elemento encontrado na segunda linha e primeira coluna da matriz.

Tipos de matrizes

  • Matriz linha: Uma matriz com uma única linha. Exemplo: 
        R = [1 2 3]
  • Matriz coluna: Uma matriz com uma única coluna. Exemplo: 
        C = [4 5 6]
  • Matriz quadrada: Uma matriz com o mesmo número de linhas e colunas. Exemplo: 
        S = [7 8 9 10]
  • Matriz diagonal: Uma matriz quadrada na qual todos os elementos fora da diagonal principal são zero.
  • Matriz identidade: Uma matriz diagonal onde todos os elementos da diagonal são um.
  • Matriz nula: Uma matriz na qual todos os elementos são zero.

Notação e dimensões de matrizes

Ao discutir matrizes, é importante entender sua dimensão ou tamanho. As dimensões de uma matriz são dadas pelo número de linhas e o número de colunas. Por exemplo, uma matriz 3 por 2 significa uma matriz com 3 linhas e 2 colunas. Em notação, é escrita como matriz 3 × 2.

Os elementos de uma matriz podem ser números, símbolos ou expressões. Matrizes geralmente são escritas em letras maiúsculas em negrito, como A, B, ou C.

Operações com matrizes

1. Adição e subtração

Matrizes podem ser somadas ou subtraídas apenas se tiverem as mesmas dimensões. A adição (ou subtração) é realizada somando (ou subtraindo) os elementos correspondentes das matrizes.

Por exemplo, considere as matrizes A e B:

A = [1 2 3 4] e B = [5 6 7 8] A + B = [1+5 2+6 3+7 4+8] = [6 8 10 12]

Da mesma forma, a subtração de matrizes também é simples:

A - B = [1-5 2-6 3-7 4-8] = [-4 -4 -4 -4]

2. Multiplicação por escalar

A multiplicação por escalar envolve multiplicar cada elemento de uma matriz por um valor constante, conhecido como escalar. Se c é um escalar e A é uma matriz, então o multiplicador escalar cA é calculado da seguinte forma:

A = [1 2 3 4] c = 3 cA = 3 × [1 2 3 4] = [3×1 3×2 3×3 3×4] = [3 6 9 12]

3. Multiplicação de matrizes

A multiplicação de matrizes é um pouco mais complicada do que a adição e a multiplicação por escalar. Duas matrizes A e B podem ser multiplicadas se o número de colunas na matriz A for igual ao número de linhas na matriz B. A matriz resultante terá dimensões que correspondem ao número de linhas de A e ao número de colunas de B.

A = [1 2 3 4] B = [5 6 7 8] AB = [(1×5 + 2×7) (1×6 + 2×8) (3×5 + 4×7) (3×6 + 4×8)] = [19 22 43 50]

Propriedades da multiplicação de matrizes:

  • Regra associativa: (AB)C = A(BC)
  • Lei distributiva: A(B + C) = AB + AC
  • Não comutativa: AB ≠ BA (geralmente)

Tipos especiais de matrizes

Matriz identidade

A matriz identidade é uma matriz quadrada com 1's ao longo da diagonal principal e 0's em outros lugares. Ela serve como a identidade multiplicativa na multiplicação de matrizes, assim como o número 1 é a identidade multiplicativa para números reais.

I = [1 0 0 1] I . A = A . I = A

Transposta de uma matriz

A transposta de uma matriz, denotada como A T, é obtida trocando as linhas e colunas da matriz.

A = [1 2 3 4 5 6] A T = [1 4 2 5 3 6]

Determinante e inversa de uma matriz

Determinante

O determinante é um número especial que pode ser calculado a partir de uma matriz quadrada. O determinante de uma matriz 2x2 é calculado da seguinte forma:

Se A = [ab cd], então det(A) = ad - bc.

Inversa de uma matriz

A inversa da matriz A é a matriz representada por A -1, e ela satisfaz a equação:

A . A -1 = I

Apenas matrizes quadradas podem ter uma inversa, e nem todas as matrizes quadradas têm uma inversa. Uma matriz é invertível apenas se seu determinante não for zero.

Aplicações de matrizes

Matrizes têm muitas aplicações em diferentes domínios. Aqui estão alguns exemplos comuns:

  • Resolução de sistemas de equações: Matrizes são frequentemente usadas para resolver sistemas de equações lineares usando eliminação de Gauss ou a inversa de uma matriz.
  • Computação gráfica: Em computação gráfica, matrizes são usadas para transformações como rotação, translação e escalonamento de imagens.
  • Estatística: Matrizes são usadas em uma variedade de métodos estatísticos, incluindo análise de regressão múltipla.
  • Física: Matrizes são usadas em física para representar e resolver vários sistemas físicos e transformações.

Exemplo visual com matrizes

Exemplo 1: Soma de duas matrizes

A = [1 3] [2 4] B = [5 7] [6 8] A + B = [1+5 3+7] [2+6 4+8] = [6 10] [8 12]

Exemplo 2: Multiplicação por escalar

B = [2 4] [1 3] 2B = 2 × [2 4] [1 3] = [4 8] [2 6]

Exemplo 3: Multiplicação de matrizes

A = [1 2] [3 4] B = [5 6] [7 8] AB = [(1×5 + 2×7) (1×6 + 2×8)] [(3×5 + 4×7) (3×6 + 4×8)] = [19 22] [43 50]

Compreender matrizes e suas operações fornece uma base sólida para explorar conceitos matemáticos mais avançados. Com prática, lidar com matrizes pode se tornar intuitivo e altamente benéfico, especialmente na resolução de problemas complexos de maneira eficiente.


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