11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

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Regra de Cramer


A regra de Cramer é um teorema matemático usado para resolver sistemas de equações lineares que contêm equações equivalentes para as incógnitas, desde que o sistema tenha uma solução única. Ela fornece uma fórmula explícita para a solução em termos de determinantes. A regra de Cramer é nomeada em homenagem ao matemático suíço Gabriel Cramer.

Noções básicas de determinantes

Antes de entender a regra de Cramer, vamos entender os determinantes, que são um componente importante.

Para uma matriz 2x2:

|ab| |cd|

O determinante é calculado da seguinte forma:

det = ad - bc

Para uma matriz 3x3:

|abc| |def| |ghi|

O determinante é calculado da seguinte forma:

det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Entendendo a regra de Cramer

Considere um sistema de n equações lineares com n incógnitas. Em forma matricial, o sistema pode ser escrito como:

AX = B

Onde:

  • A é uma matriz nxn de coeficientes
  • X é uma matriz coluna contendo variáveis [x1, x2, ..., xn]
  • B é uma matriz coluna de constantes [b1, b2, ..., bn]

Se o determinante da matriz A (denotado como det(A)) não for zero, então o sistema tem uma solução única. A regra de Cramer fornece a solução da seguinte forma:

xi = det(Ai) / det(A) para i = 1, 2, ..., n

onde Ai é a matriz A, mas sua i-ésima coluna é substituída pela matriz B.

Exemplo passo a passo

Exemplo 1: Resolvendo um sistema 2x2

Considere o seguinte sistema de equações:

2x + 3y = 8 x - y = 1

Em forma matricial:

A = | 2 3 | | 1 -1 | X = | x | | y | B = | 8 | | 1 |

Para encontrar det(A):

det(A) = (2)(-1) - (3)(1) = -2 - 3 = -5

Agora, calcule as matrizes A1 e A2:

A1 = | 8 3 | | 1 -1 |
det(A1) = (8)(-1) - (3)(1) = -8 - 3 = -11
A2 = | 2 8 | | 1 1 |
det(A2) = (2)(1) - (8)(1) = 2 - 8 = -6

Uso da Regra de Cramer:

x = det(A1)/det(A) = -11 / -5 = 2.2 y = det(A2)/det(A) = -6 / -5 = 1.2

Exemplo 2: Resolvendo um sistema 3x3

Considere estas equações:

x + 2y + 3z = 9 2x + 3y + z = 8 3x + y + 2z = 7

Forma matricial:

A = | 1 2 3 | | 2 3 1 | | 3 1 2 | X = | x | | y | | z | B = | 9 | | 8 | | 7 |

Calcule o determinante de A:

det(A) = 1(3*2 - 1*2) - 2(2*2 - 1*3) + 3(2*1 - 3*3) = 1(6 - 2) - 2(4 - 3) + 3(2 - 9) = 1*4 - 2*1 + 3*(-7) = 4 - 2 - 21 = -19

Vamos calcular as matrizes A1, A2 e A3:

A1 = | 9 2 3 | | 8 3 1 | | 7 1 2 |
det(A1) = 9(3*2 - 1*2) - 2(8*2 - 1*7) + 3(8*1 - 3*7) = 9(6 - 2) - 2(16 - 7) + 3(8 - 21) = 9*4 - 2*9 + 3*(-13) = 36 - 18 - 39 = -21
A2 = | 1 9 3 | | 2 8 1 | | 3 7 2 |
det(A2) = 1(8*2 - 1*7) - 9(2*2 - 1*3) + 3(2*1 - 3*7) = 1(16 - 7) - 9(4 - 3) + 3(2 - 21) = 1*9 - 9*1 + 3*(-19) = 9 - 9 - 57 = -57
A3 = | 1 2 9 | | 2 3 8 | | 3 1 7 |
det(A3) = 1(3*7 - 8*1) - 2(2*7 - 8*3) + 9(2*1 - 3*3) = 1(21 - 8) - 2(14 - 24) + 9(2 - 9) = 13 + 20 + (-63) = -30

Resolver usando a regra de Cramer:

x = det(A1)/det(A) = -21 / -19 = 1.105 y = det(A2)/det(A) = -57 / -19 = 3 z = det(A3)/det(A) = -30 / -19 = 1.579

Aspectos importantes da regra de Cramer

A regra de Cramer é bonita e clara, adequada para fins educacionais e para pequenos sistemas de equações. No entanto, não é eficiente para grandes sistemas devido à intensidade computacional dos cálculos de determinantes à medida que o tamanho da matriz aumenta.

Aplicação a matrizes grandes

Embora teoricamente aplicável a qualquer sistema nxn, o esforço computacional é aparentemente impraticável para n > 3. Para n = 4 ou maior, métodos padrão, como eliminação gaussiana ou decomposição LU, são preferidos, principalmente em aplicações práticas.

Cancelamento de determinantes

Se det(A) = 0, então a regra de Cramer não pode ser aplicada porque a divisão por zero é indefinida. Tais casos geralmente sugerem soluções infinitas ou nenhuma solução. Métodos alternativos irão explorar esses aspectos considerando técnicas de minimização de linhas ou o posto da matriz.

Visualização de exemplos

Assumindo det(A) em nxn é diferente de zero, imagine resolver por operações de linha de modo que a conjugação X seja equivalente à normalização euclidiana.

Interseção: Solução

Os elementos visuais orientam a compreensão da perspectiva geométrica das soluções, onde diferentes linhas coloridas representam equações, e a interseção indica a igualdade das soluções.

Enquanto a Regra de Cramer fornece soluções formulaicas, representações visuais alternativas adicionam engajamento cognitivo para profundidade conceitual.


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