クラメルの定理

クラメルの定理は、未知数に対して等価な方程式を含む線形方程式の系を解くために使用される数学的定理であり、その系が一意の解を持つ場合に適用されます。決定式を用いて解の明示的な公式を与えます。この定理はスイスの数学者ガブリエル・クラメルにちなんで名付けられました。

行列式の基本

クラメルの定理を理解する前に、行列式について理解しましょう。行列式は重要な成分です。

2x2行列の場合:

|ab| |cd|

行列式は次のように計算されます:

det = ad - bc

3x3行列の場合:

|abc| |def| |ghi|

行列式は次のように計算されます:

det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

クラメルの定理の理解

n個の未知数を持つn個の線形方程式の系を考えます。行列形式では、この系は次のように表されます:

AX = B

ここで:

• Aはnxnの係数行列
• Xは未知数を含む列行列[x1, x2, ..., xn]
• Bは定数の列行列[b1, b2, ..., bn]

行列Aの行列式（det(A)と表記）が0でない場合、その系は一意の解を持ちます。クラメルの定理では次のように解を提供します:

xi = det(Ai) / det(A) for i = 1, 2, ..., n

ここでAiは行列Aのi番目の列を行列Bに置き換えたものです。

ステップバイステップの例

例1: 2x2システムの解法

次の方程式系を考えてみましょう:

2x + 3y = 8 x - y = 1

行列形式では:

A = | 2 3 | | 1 -1 | X = | x | | y | B = | 8 | | 1 |

det(A)を求めます:

det(A) = (2)(-1) - (3)(1) = -2 - 3 = -5

次に、行列A1とA2を計算します:

A1 = | 8 3 | | 1 -1 |

det(A1) = (8)(-1) - (3)(1) = -8 - 3 = -11

A2 = | 2 8 | | 1 1 |

det(A2) = (2)(1) - (8)(1) = 2 - 8 = -6

クラメルの定理の使用:

x = det(A1)/det(A) = -11 / -5 = 2.2 y = det(A2)/det(A) = -6 / -5 = 1.2

例2: 3x3システムの解法

次の方程式を考えてみましょう:

x + 2y + 3z = 9 2x + 3y + z = 8 3x + y + 2z = 7

行列形式:

A = | 1 2 3 | | 2 3 1 | | 3 1 2 | X = | x | | y | | z | B = | 9 | | 8 | | 7 |

Aの行列式を計算します:

det(A) = 1(3*2 - 1*2) - 2(2*2 - 1*3) + 3(2*1 - 3*3) = 1(6 - 2) - 2(4 - 3) + 3(2 - 9) = 1*4 - 2*1 + 3*(-7) = 4 - 2 - 21 = -19

行列A1、A2、A3を計算してみましょう:

A1 = | 9 2 3 | | 8 3 1 | | 7 1 2 |

det(A1) = 9(3*2 - 1*2) - 2(8*2 - 1*7) + 3(8*1 - 3*7) = 9(6 - 2) - 2(16 - 7) + 3(8 - 21) = 9*4 - 2*9 + 3*(-13) = 36 - 18 - 39 = -21

A2 = | 1 9 3 | | 2 8 1 | | 3 7 2 |

det(A2) = 1(8*2 - 1*7) - 9(2*2 - 1*3) + 3(2*1 - 3*7) = 1(16 - 7) - 9(4 - 3) + 3(2 - 21) = 1*9 - 9*1 + 3*(-19) = 9 - 9 - 57 = -57

A3 = | 1 2 9 | | 2 3 8 | | 3 1 7 |

det(A3) = 1(3*7 - 8*1) - 2(2*7 - 8*3) + 9(2*1 - 3*3) = 1(21 - 8) - 2(14 - 24) + 9(2 - 9) = 13 + 20 + (-63) = -30

クラメルの定理を使用して解く:

x = det(A1)/det(A) = -21 / -19 = 1.105 y = det(A2)/det(A) = -57 / -19 = 3 z = det(A3)/det(A) = -30 / -19 = 1.579

クラメルの定理の重要な側面

クラ메ル의 정리는 교육目的 및 小系統의 方程式解決에 적합한 美しい 명료한 定理이지만, 行列式計算이 行列크기가 크기에 따라 計算量이 증가하므로 大系統에 대해 非効율적입니다.

大行列への適用

理論적으로는任意のnxn系に適用可能ですが、n = 4以上の場合、その計算負担は明らかに実用的でなくなり、標準的方法（例えばガウス消去法やLU分解）が一般的に実用적に好まれます。

行列式のキャンセル

もしdet(A) = 0のとき、クラメルの定理は適用できません。なぜならゼロ除算は未定義だからです。こうした場合、無限の解または解が存在しないことが示唆されます。行列のランクや行縮小技法を考慮することで、代替的な方法がこれらの側面を探求します。

例の視覚化

もしnxnのdet(A)が非ゼロであれば、行操作を通じて解くことを想定すると、共役Xがユークリッドの正規化と等価になります。

視覚要素が、異なる色の線が方程式を表し、交点が解の等価性を示す幾何学的な視点の解を理解するために案内します。

クラメルの定理が公式の解を提供する一方で、代替的なビジュアル表現が概念的な深みを持つ認知的な関与を加えます。

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