क्रैमर का नियम

क्रैमर का नियम एक गणितीय प्रमेय है जिसका उपयोग उन रैखिक समीकरणों की प्रणाली हल करने के लिए किया जाता है जिनमें अज्ञात के लिए तुल्य समीकरण होते हैं, यह मानते हुए कि प्रणाली का एक अद्वितीय समाधान है। यह निर्धारकों के संदर्भ में समाधान के लिए एक स्पष्ट सूत्र प्रदान करता है। क्रैमर का नियम स्विस गणितज्ञ गेब्रियल क्रैमर के नाम पर रखा गया है।

निर्धारकों के मूल बातें

क्रैमर के नियम को समझने से पहले, आइए निर्धारकों को समझें, जो एक महत्वपूर्ण घटक हैं।

एक 2x2 मैट्रिक्स के लिए:

|ab| |cd|

निर्धारक इस प्रकार गणना की जाती है:

det = ad - bc

एक 3x3 मैट्रिक्स के लिए:

|abc| |def| |ghi|

निर्धारक इस प्रकार गणना की जाती है:

det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

क्रैमर के नियम को समझना

n अज्ञातों के साथ n रैखिक समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें। मैट्रिक्स रूप में, प्रणाली इस प्रकार लिखा जा सकता है:

AX = B

जहां:

• A गुणांक का nxn मैट्रिक्स है
• X एक स्तंभ मैट्रिक्स है जिसमें चर [x1, x2, ..., xn] होते हैं
• B स्थिरांक का स्तंभ मैट्रिक्स है [b1, b2, ..., bn]

यदि मैट्रिक्स A का निर्धारक (det(A) के रूप में संकेतित) शून्य नहीं है, तो प्रणाली का एक अद्वितीय समाधान है। क्रैमर का नियम समाधान इस प्रकार देता है:

xi = det(Ai) / det(A) for i = 1, 2, ..., n

जहां Ai मैट्रिक्स A है, लेकिन इसका i-वा स्तंभ मैट्रिक्स B द्वारा प्रतिस्थापित होता है।

चरण-दर-चरण उदाहरण

उदाहरण 1: एक 2x2 प्रणाली को हल करना

निम्नलिखित समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें:

2x + 3y = 8 x - y = 1

मैट्रिक्स रूप में:

A = | 2 3 | | 1 -1 | X = | x | | y | B = | 8 | | 1 |

det(A) खोजने के लिए:

det(A) = (2)(-1) - (3)(1) = -2 - 3 = -5

अब मैट्रिक्स A1 और A2 की गणना करें:

A1 = | 8 3 | | 1 -1 |

det(A1) = (8)(-1) - (3)(1) = -8 - 3 = -11

A2 = | 2 8 | | 1 1 |

det(A2) = (2)(1) - (8)(1) = 2 - 8 = -6

क्रैमर के नियम का उपयोग करना:

x = det(A1)/det(A) = -11 / -5 = 2.2 y = det(A2)/det(A) = -6 / -5 = 1.2

उदाहरण 2: एक 3x3 प्रणाली को हल करना

इन समीकरणों पर विचार करें:

x + 2y + 3z = 9 2x + 3y + z = 8 3x + y + 2z = 7

मैट्रिक्स रूप में:

A = | 1 2 3 | | 2 3 1 | | 3 1 2 | X = | x | | y | | z | B = | 9 | | 8 | | 7 |

A के निर्धारक की गणना करें:

det(A) = 1(3*2 - 1*2) - 2(2*2 - 1*3) + 3(2*1 - 3*3) = 1(6 - 2) - 2(4 - 3) + 3(2 - 9) = 1*4 - 2*1 + 3*(-7) = 4 - 2 - 21 = -19

आइए मैट्रिक्स A1, A2 और A3 की गणना करें:

A1 = | 9 2 3 | | 8 3 1 | | 7 1 2 |

det(A1) = 9(3*2 - 1*2) - 2(8*2 - 1*7) + 3(8*1 - 3*7) = 9(6 - 2) - 2(16 - 7) + 3(8 - 21) = 9*4 - 2*9 + 3*(-13) = 36 - 18 - 39 = -21

A2 = | 1 9 3 | | 2 8 1 | | 3 7 2 |

det(A2) = 1(8*2 - 1*7) - 9(2*2 - 1*3) + 3(2*1 - 3*7) = 1(16 - 7) - 9(4 - 3) + 3(2 - 21) = 1*9 - 9*1 + 3*(-19) = 9 - 9 - 57 = -57

A3 = | 1 2 9 | | 2 3 8 | | 3 1 7 |

det(A3) = 1(3*7 - 8*1) - 2(2*7 - 8*3) + 9(2*1 - 3*3) = 1(21 - 8) - 2(14 - 24) + 9(2 - 9) = 13 + 20 + (-63) = -30

क्रैमर के नियम का उपयोग करें:

x = det(A1)/det(A) = -21 / -19 = 1.105 y = det(A2)/det(A) = -57 / -19 = 3 z = det(A3)/det(A) = -30 / -19 = 1.579

क्रैमर के नियम के महत्वपूर्ण पहलू

क्रैमर का नियम सुंदर और स्पष्ट है, शैक्षिक उद्देश्यों के लिए और छोटे समीकरण प्रणालियों के लिए उपयुक्त है। हालांकि, यह बड़े सिस्टम के लिए दक्ष नहीं होता है क्योंकि मैट्रिक्स के आकार के बढ़ते साथ निर्धारक की गणना की तीव्रता बढ़ जाती है।

बड़े मैट्रिक्स पर लागू होना

हालांकि सैद्धांतिक रूप से किसी भी nxn सिस्टम पर लागू होता है, n > 3 के लिए तार्किक भार स्पष्ट रूप से अप्रायोगिक होता है। n = 4, या बड़ा होने पर, वास्तविक अनुप्रयोगों में मुख्यतः गॉसियन उन्मूलन या LU विघटन जैसे मानक विधियों को प्राथमिकता दी जाती है।

निर्धारक रद्दीकरण

यदि det(A) = 0, तो क्रैमर का नियम लागू नहीं किया जा सकता क्योंकि शून्य से भाग करना अनिर्धारित है। ऐसे मामलों में अक्सर अनंत समाधान या कोई समाधान नहीं होता है। वैकल्पिक विधियों में रो सहीक शामिल करके या मैट्रिक्स की रैंक का विचार कर इन पहलुओं की जांच की जाएगी।

उदाहरणों का निजीकरण

मान लेते हैं कि det(A) non-zero है, तो रो संचालन के माध्यम से हल करने की कल्पना करें ताकि संयुगमन X यूक्लिडियन सामान्या के बराबर हो।

दृश्य तत्व समाधान के ज्यामितीय दृष्टिकोण को समझने का मार्गदर्शन करते हैं, जहां विभिन्न रंगीन रेखाएं समीकरण का प्रतिनिधित्व करती हैं, और इंटरसेक्शन समाधान की समानता को इंगित करता है।

जबकि क्रैमर का नियम सूत्रात्मक समाधान प्रदान करता है, वैकल्पिक दृश्य अभ्यावेदन सैद्धांतिक गहराई के लिए संज्ञानात्मक संबंध जोड़ते हैं।

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