Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Regla de Cramer


La regla de Cramer es un teorema matemático utilizado para resolver sistemas de ecuaciones lineales que contienen ecuaciones equivalentes para las incógnitas, siempre y cuando el sistema tenga una solución única. Proporciona una fórmula explícita para la solución en términos de determinantes. La regla de Cramer lleva el nombre del matemático suizo Gabriel Cramer.

Conceptos básicos de determinantes

Antes de entender la regla de Cramer, entendamos los determinantes, que son un componente importante.

Para una matriz 2x2:

|ab| |cd|

El determinante se calcula de la siguiente manera:

det = ad - bc

Para una matriz 3x3:

|abc| |def| |ghi|

El determinante se calcula de la siguiente manera:

det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

Entendiendo la regla de Cramer

Consideremos un sistema de n ecuaciones lineales con n incógnitas. En forma matricial, el sistema se puede escribir como:

AX = B

Donde:

  • A es una matriz nxn de coeficientes
  • X es una matriz columna que contiene variables [x1, x2, ..., xn]
  • B es una matriz columna de constantes [b1, b2, ..., bn]

Si el determinante de la matriz A (denotado como det(A)) no es cero, entonces el sistema tiene una solución única. La regla de Cramer proporciona la solución de la siguiente manera:

xi = det(Ai) / det(A) para i = 1, 2, ..., n

donde Ai es la matriz A, pero su i-ésima columna es reemplazada por la matriz B.

Ejemplo paso a paso

Ejemplo 1: Resolviendo un sistema 2x2

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones:

2x + 3y = 8 x - y = 1

En forma matricial:

A = | 2 3 | | 1 -1 | X = | x | | y | B = | 8 | | 1 |

Para encontrar det(A):

det(A) = (2)(-1) - (3)(1) = -2 - 3 = -5

Ahora, calcula las matrices A1 y A2:

A1 = | 8 3 | | 1 -1 |
det(A1) = (8)(-1) - (3)(1) = -8 - 3 = -11
A2 = | 2 8 | | 1 1 |
det(A2) = (2)(1) - (8)(1) = 2 - 8 = -6

Uso de la regla de Cramer:

x = det(A1)/det(A) = -11 / -5 = 2.2 y = det(A2)/det(A) = -6 / -5 = 1.2

Ejemplo 2: Resolviendo un sistema 3x3

Consideremos estas ecuaciones:

x + 2y + 3z = 9 2x + 3y + z = 8 3x + y + 2z = 7

Forma matricial:

A = | 1 2 3 | | 2 3 1 | | 3 1 2 | X = | x | | y | | z | B = | 9 | | 8 | | 7 |

Calcula el determinante de A:

det(A) = 1(3*2 - 1*2) - 2(2*2 - 1*3) + 3(2*1 - 3*3) = 1(6 - 2) - 2(4 - 3) + 3(2 - 9) = 1*4 - 2*1 + 3*(-7) = 4 - 2 - 21 = -19

Vamos a calcular las matrices A1, A2 y A3:

A1 = | 9 2 3 | | 8 3 1 | | 7 1 2 |
det(A1) = 9(3*2 - 1*2) - 2(8*2 - 1*7) + 3(8*1 - 3*7) = 9(6 - 2) - 2(16 - 7) + 3(8 - 21) = 9*4 - 2*9 + 3*(-13) = 36 - 18 - 39 = -21
A2 = | 1 9 3 | | 2 8 1 | | 3 7 2 |
det(A2) = 1(8*2 - 1*7) - 9(2*2 - 1*3) + 3(2*1 - 3*7) = 1(16 - 7) - 9(4 - 3) + 3(2 - 21) = 1*9 - 9*1 + 3*(-19) = 9 - 9 - 57 = -57
A3 = | 1 2 9 | | 2 3 8 | | 3 1 7 |
det(A3) = 1(3*7 - 8*1) - 2(2*7 - 8*3) + 9(2*1 - 3*3) = 1(21 - 8) - 2(14 - 24) + 9(2 - 9) = 13 + 20 + (-63) = -30

Resolver usando la regla de Cramer:

x = det(A1)/det(A) = -21 / -19 = 1.105 y = det(A2)/det(A) = -57 / -19 = 3 z = det(A3)/det(A) = -30 / -19 = 1.579

Aspectos importantes de la regla de Cramer

La regla de Cramer es hermosa y clara, adecuada para propósitos educativos y para sistemas de ecuaciones pequeños. Sin embargo, no es eficiente para sistemas grandes debido a la intensidad computacional de los cálculos del determinante a medida que aumenta el tamaño de la matriz.

Aplicación a matrices grandes

Aunque teóricamente aplicable a cualquier sistema nxn, la carga computacional es aparentemente impráctica para n > 3. Para n = 4, o mayor, se prefieren métodos estándar como la eliminación gaussiana o la descomposición LU, principalmente en aplicaciones prácticas.

Cancelación de determinantes

Si det(A) = 0, entonces la regla de Cramer no se puede aplicar porque la división por cero no está definida. Tales casos a menudo sugieren soluciones infinitas o ninguna solución en absoluto. Métodos alternativos explorarán estos aspectos considerando técnicas de minimización de filas o rango de matriz.

Visualización de ejemplos

Suponiendo det(A) en nxn es diferente de cero, imaginemos resolver mediante operaciones de fila para que la conjugación X sea equivalente a la normalización euclidiana.

Intersección: Solución

Los elementos visuales guían el entendimiento de la perspectiva geométrica de las soluciones, donde las líneas de diferentes colores representan ecuaciones, y la intersección indica la igualdad de las soluciones.

Si bien la regla de Cramer proporciona soluciones formuladas, representaciones visuales alternativas agregan un compromiso cognitivo para una mayor profundidad conceptual.


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