Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Resolución de sistemas de ecuaciones lineales


La resolución de sistemas de ecuaciones lineales es un tema fundamental en matemáticas que implica encontrar los valores de las variables que satisfacen múltiples ecuaciones lineales simultáneamente. Este tema es importante no solo en matemáticas, sino también en varias aplicaciones del mundo real, como la ingeniería, la física, la informática y la economía. A menudo expresamos estos sistemas en forma de matriz, lo que proporciona una manera simple de manipularlos y resolverlos utilizando una variedad de métodos.

Comprensión de las ecuaciones lineales

Una ecuación lineal es una ecuación que forma una línea recta cuando se grafica. Usualmente se encuentra en esta forma:

ax + by + cz + ... = d

Donde a, b, c, etc. son coeficientes y d es una constante. Las variables x, y, z, etc. son lo que estamos resolviendo.

Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de ecuaciones lineales consiste en dos o más ecuaciones lineales que tienen el mismo conjunto de variables. Por ejemplo:

2x + 3y = 8 
x - y = 1

Nuestro objetivo es encontrar los valores de x y y que satisfagan ambas ecuaciones.

Ejemplo visual

2x + 3y = 8 x – y = 1 (Solución)

Representación matricial de ecuaciones lineales

Una forma más sistemática de resolver sistemas de ecuaciones lineales es usar matrices. En forma matricial, un sistema de ecuaciones puede expresarse como:

AX = B

Aquí, A es una matriz con los coeficientes de las variables, X es una matriz columna de variables, y B es una matriz columna de constantes.

Ejemplo

Considera el sistema:

2x + 3y = 8
x - y = 1

La representación matricial es:

A = | 2 3 |
   | 1 -1 |
X = | x |
    | y |
B = | 8 |
    | 1 |

En forma matricial se escribe como:

| 2 3 | | x | = | 8 |
| 1 -1 | * | y |   | 1 |

Métodos para resolver sistemas de ecuaciones

Existen varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo sustitución, eliminación, métodos de matrices como la inversa de una matriz y el uso de determinantes. Cada método tiene sus propias aplicaciones, dependiendo de la complejidad y el tamaño del sistema.

Método 1: Sustitución

El método de sustitución implica resolver una ecuación para una variable y luego sustituir esa expresión en otra ecuación. Apliquemos esto a nuestro sistema anterior:

x - y = 1 (Ecuación 2)
x = y + 1 (Resolviendo para x)

Sustituye x = y + 1 en la Ecuación 1:

2(y + 1) + 3y = 8
2y + 2 + 3y = 8
5y + 2 = 8
5y = 6
y = 6/5

Re-sustituir y = 6/5 en x = y + 1:

x = (6/5) + 1 = 11/5

Así, la solución es (x, y) = (11/5, 6/5).

Método 2: Eliminación

El método de eliminación implica sumar o restar ecuaciones para eliminar una de las variables. Por ejemplo:

2x + 3y = 8
x - y = 1

Multiplica la segunda ecuación por 3:

3(x - y) = 3 * 1
3x - 3y = 3

Ahora, resta la segunda ecuación modificada de la primera:

(2x + 3y) - (3x - 3y) = 8 - 3
-x + 6y = 5
x = 6y - 5

Sustituir esto en la segunda ecuación original:

(6y - 5) - y = 1
5y - 5 = 1
5y = 6
y = 6/5

Sustituyendo y = 6/5 :

x = 6(6/5) - 5 = 11/5

Por lo tanto, la solución es (x, y) = (11/5, 6/5).

Método 3: Inversa de la matriz

Cuando la matriz A es no singular (su determinante no es cero), entonces su inversa existe y puede usarse para resolver el sistema:

AX = B
X = A-1B

Encuentra la inversa de A:

A = | 2 3 |
   | 1 -1 |
det(A) = (2 * -1) - (3 * 1) = -2 - 3 = -5
A-1 = (1/det(A)) * | -1 -3 |
                             | -1  2 |
= (-1/5) * | -1 -3 |
           | -1  2 |
A-1 = | 1/5  3/5 |
                | 1/5 -2/5 |

Multiplica la inversa por B:

X = A-1B = | 1/5  3/5 | | 8 |
                       | 1/5 -2/5 | | 1 | =
| (1/5)*8 + (3/5)*1 |
| (1/5)*8 - (2/5)*1 | =
| 11/5 |
| 6/5 |

Esto nos da la solución (x, y) = (11/5, 6/5).

Método 4: Determinante (Regla de Cramer)

La regla de Cramer proporciona un método simple para resolver sistemas de ecuaciones lineales usando determinantes, que se aplica solo cuando el número de ecuaciones es igual al número de incógnitas y el sistema tiene una solución única (determinante distinto de cero).

Para un sistema AX = B:

x = det(Ax) / det(A)
y = det(Ay) / det(A)

donde Ax y Ay son matrices formadas reemplazando las columnas correspondientes en A con B.

Para nuestro ejemplo:

A = | 2 3 |
   | 1 -1 |
det(A) = (2 * -1) - (3 * 1) = -5
Ax = | 8 3 |
             | 1 -1 |
det(Ax) = (8 * -1) - (3 * 1) = -8 - 3 = -11
Ay = | 2 8 |
             | 1 1 |
det(Ay) = (2 * 1) - (8 * 1) = 2 - 8 = -6
x = det(Ax)/det(A) = -11/-5 = 11/5
y = det(Ay)/det(A) = -6/-5 = 6/5

Así, la solución es (x, y) = (11/5, 6/5).

Sistemas con más variables

Los métodos descritos se vuelven aún más poderosos al tratar con sistemas con más variables. Aunque resolver las ecuaciones gráficamente se vuelve poco práctico, los métodos de matrices se escalan bien, permitiéndonos manejar sistemas grandes con muchas variables.

Considera un sistema con tres variables:

3x + 4y - z = 1
2x - y + 3z = 2
x + 2y + z = -3

El formato de la matriz es:

A = | 3 4 -1 |
   | 2 -1 3 |
   | 1 2 1 |
X = | x |
    | y |
    | z |
B = | 1 |
    | 2 |
    | -3 |

Podemos usar eliminación gaussiana, el método de inversión de matrices o la regla de Cramer (si es posible) para encontrar la solución.

Eliminación gaussiana

La eliminación gaussiana es un proceso de resolución de sistemas en el que convertimos la matriz del sistema en una forma que se puede resolver fácilmente usando retro-sustitución.

Pasos involucrados:

  • Transformar la matriz en forma triangular superior.
  • Usar retro-sustitución para encontrar la solución.

Para un sistema de tres variables, obtendremos ceros por debajo de la diagonal principal manipulando las filas (desde la primera entrada no cero en la fila en adelante).

Conclusión

Resolver sistemas de ecuaciones lineales usando matrices es una habilidad vital en matemáticas, que proporciona métodos robustos para encontrar soluciones a problemas del mundo real. Ya sea usando operaciones matriciales como sustitución, eliminación, cálculos de inversa y la regla de Cramer, saber cómo aprovechar estas técnicas permite enfrentar eficazmente sistemas de pequeña y gran escala.

Comprender estos diferentes métodos no solo mejora la habilidad matemática, sino que también abre la puerta a sus aplicaciones en una variedad de campos científicos, lo que convierte a este tema en un componente esencial del estudio y la práctica matemática.


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