कक्षा 11
  1. बीजगणित  1.1. बीजगणित में श्रेणी और श्रेणियाँ समझना  1.1.1. अंकगणितीय अनुक्रम को समझना  1.1.2. अंकगणितीय श्रेणी  1.1.3. ज्यामितीय अनुक्रमों की समझ  1.1.4. ज्यामितीय श्रेणी को समझना  1.1.5. अभिसरण और अपसरण  1.1.6. बीजगणित में "अनंत तक योग" को समझना  1.1.7. सिग्मा संकेतन  1.2. जटिल संख्याएँ  1.2.1. काल्पनिक और सम्मिश्र संख्याओं को समझना  1.2.2. संयुक्त संख्याओं के साथ संचालन  1.2.3. समिश्र संख्याओं के ध्रुवीय और कार्तीय रूप  1.2.4. सम्मिश्र युग्म  1.2.5. मॉड्यूलस और तर्क  1.2.6. डी म्वायव्र का प्रमेय  1.2.7. जटिल संख्याओं की घातें और मूल  1.3. द्विपद प्रमेय  1.3.1. बहुपद के विस्तार  1.3.2. द्विपद प्रमेय में सामान्य शब्द  1.3.3. द्विपद गुणांक  1.3.4. द्विपद प्रमेय के अनुप्रयोग  1.3.5. पैस्कल की त्रिभुज
  2. फंक्शन और ग्राफ  2.1. कार्य के प्रकार  2.1.1. बहुपद फ़ंक्शन  2.1.2. अनुपातिक फलन  2.1.3. घातीय फलन  2.1.4. लघुगणकीय फलन  2.1.5. त्रिकोणमितीय फलन  2.1.6. खंडों में कार्य  2.2. कार्यों का परिवर्तन  2.2.1. अनुवाद  2.2.2. समारोहों के रूपांतरण में प्रतिबिंब को समझना  2.2.3. खिंचाव और खिंचाव  2.2.4. समझना कार्यों और ग्राफ में रोटेशन  2.3. इनवर्स फंक्शन  2.3.1. प्रतिलोम खोजना  2.3.2. उल्टा फलन के ग्राफ  2.3.3. उलट क्रिया के गुण  2.3.4. प्रतिलोम के लिए प्रतिबंध
  3. त्रिकोणमिति  3.1. त्रिकोणमितीय अनुपात और पहचान  3.1.1. मूल त्रिकोणमितीय अनुपात  3.1.2. त्रिकोणमिति में पाइथागॉरियन आइडेंटिटीज को समझना  3.1.3. योग और अंतर सूत्र  3.1.4. द्विआंग सूत्र  3.1.5. त्रिकोणमिति में अर्द्ध कोण सूत्रों की समझ  3.1.6. गुणोत्तर-योग और योग-प्रति-गुणा सूत्र  3.2. त्रिकोणमितीय समीकरण  3.2.1. त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करना  3.2.2. त्रिकोणमितीय समीकरणों में सामान्य समाधान  3.3. त्रिकोणमितीय फलनों के ग्राफ  3.3.1. साइन ग्राफ  3.3.2. कोसाइन ग्राफ को समझना  3.3.3. स्पर्शरेखा ग्राफ  3.3.4. एम्प्लिट्यूड और अवधि समायोजन  3.3.5. त्रिकोणमितीय फलनों के ग्राफ में चरण परिवर्तन  3.4. त्रिकोणमिति के अनुप्रयोग  3.4.1. साइन और कोसाइन के नियम  3.4.2. त्रिभुजों का क्षेत्रफल  3.4.3. त्रिकोण हल करना  3.4.4. बियरिंग्स और नेविगेशन
  4. कैलकुलस का परिचय  4.1. कैलकुलस में सीमा और निरंतरता को समझना  4.1.1. लिमिट की अवधारणा  4.1.2. एकतरफा सीमा  4.1.3. कलन में अनंत पर सीमा का समजना  4.1.4. एक फलन की निरंतरता  4.1.5. अविरलता के प्रकार  4.2. भेदभाव  4.2.1. डेरिवेटिव की परिभाषा  4.2.2. अवकलन के नियम  4.2.3. उच्च क्रम के अवकलज  4.2.4. चेन नियम  4.2.5. उत्पाद नियम  4.2.6. कलन में भाजक नियम को समझना  4.3. अंतरण के अनुप्रयोग  4.3.1. परिवर्तन की दर  4.3.2. स्पर्शरेखा और अभिलंब  4.3.3. अधिकतम और न्यूनतम  4.3.4. बढ़ते और घटते हुए फलन को समझना  4.3.5. श्रेष्ठीकरण समस्याएँ  4.3.6. एक वक्र का आरेखण  4.3.7. अंतरकरण के अनुप्रयोगों में संबंधित दरें  4.4. इंटीग्रेशन क्या है?  4.4.1. प्रतिलेखी  4.4.2. अनिश्चित समाकलन  4.4.3. निश्चित समाकलन  4.4.4. कलन का मौलिक प्रमेय  4.4.5. एकीकरण तकनीकें  4.4.6. इंटीग्रेशन में वक्र के नीचे के क्षेत्र को समझना  4.5. समाकलन के अनुप्रयोग  4.5.1. वक्रों के बीच का क्षेत्रफल  4.5.2. घूर्णन धाराओं के ठोसों के आयतन  4.5.3. कैल्कुलस में किसी फलन के औसत मान को समझना
  5. वेक्टर और मैट्रिक्स  5.1. वेक्टर  5.1.1. परिचय  5.1.2. वेक्टर संचालन  5.1.3. डॉट प्रोडक्ट को समझना  5.1.4. क्रॉस गुणन  5.1.5. ज्यामिति में अनुप्रयोग  5.1.6. वेक्टर का प्रक्षेपण  5.2. मैट्रिक्स  5.2.1. मैट्रिक्स के प्रकार  5.2.2. मैट्रिक्स के संचालन को समझना  5.2.3. निर्धारक  5.2.4. मैट्रिक्स का व्युत्क्रम  5.2.5. रेखीय समीकरणों के प्रणालियों को हल करना  5.2.6. क्रैमर का नियम
  6. सम्भाव्यता और सांख्यिकी  6.1. गणित में प्रायिकता को समझना  6.1.1. बुनियादी संभावना अवधारणाएँ  6.1.2. सशर्त प्रायिकता  6.1.3. संभाव्यता में स्वतंत्र और आश्रित घटनाओं का परिचय  6.1.4. बेयस का प्रमेय  6.1.5. संयोजनीय प्रायिकता  6.2. यादृच्छिक चरों  6.2.1. विच्छिन्न यादृच्छिक चर  6.2.2. सतत यादृच्छिक चर  6.2.3. प्रायिकता वितरण  6.3. प्रायिकता वितरण  6.3.1. बाइनोमियल वितरण की समझ  6.3.2. सामान्य वितरण  6.3.3. पॉइसन वितरण  6.3.4. समान वितरण  6.4. सांख्यिकी  6.4.1. केन्द्रीय प्रवृत्ति के माप  6.4.2. विसरण के माप  6.4.3. डेटा संग्रहण और प्रतिनिधित्व  6.4.4. सहसंबंध और प्रतिगमन  6.4.5. नमूना तकनीकें
  7. निर्देशांक ज्यामिति  7.1. निर्देशांक ज्यामिति में सीधी रेखाएं  7.1.1. निर्देशांक ज्यामिति में ढाल और प्रतिच्छेद रूप  7.1.2. समान रेखाओं में दूरी सूत्र  7.1.3. निर्देशांक ज्यामिति में मध्यबिंदु सूत्र को समझना  7.1.4. रेखाओं के बीच कोण  7.1.5. रेखाओं का समीकरण  7.2. शंकु खंड  7.2.1. वृत्त  7.2.2. परवलय का परिचय  7.2.3. शंक्वाकार खंड में दीर्घवृत्त  7.2.4. शंकु के खंडों में अतिपरवलय को समझना  7.2.5. शंकु की विशेषताएँ  7.2.6. शंकु के पारामेट्रिक समीकरण  7.2.7. शंकवृत्तों का ध्रुवीय निर्देशांक
  8. अंकगणितीय तर्क  8.1. गणितीय तर्क में तर्क का परिचय  8.1.1. वक्तव्य और तार्किक संयोजक  8.1.2. सत्य सारणियाँ  8.1.3. तार्किक समकक्षता  8.1.4. तार्किक गणित में परिमाणक  8.1.5. प्रमाण तकनीकें  8.2. गणितीय तर्क में प्रमाण को समझना  8.2.1. प्रत्यक्ष प्रमाण  8.2.2. अप्रत्यक्ष प्रमाण  8.2.3. विरोधाभास द्वारा प्रमाण को समझना  8.2.4. गणितीय प्रेरण द्वारा प्रमाण

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मैट्रिक्स के संचालन को समझना


गणित में हर जगह मैट्रिक्स होते हैं और भौतिकी, कंप्यूटर विज्ञान और अर्थशास्त्र जैसे कई क्षेत्रों में विशेष रूप से उपयोगी होते हैं। कक्षा 11 गणित में आप इन रोचक संरचनाओं में गहराई से जाना शुरू करते हैं, यह समझते हुए कि उन्हें विभिन्न संचालन के माध्यम से कैसे लागू और हेरफेर किया जाता है। यह पृष्ठ आपको मैट्रिक्स संचालन की मूल बातें सुलभ और व्यापक तरीके से मार्गदर्शन करेगा।

मैट्रिक्स क्या है?

एक मैट्रिक्स मूल रूप से संख्याओं के आयताकार अभिलेख होते हैं जो पंक्तियों और स्तम्भों में व्यवस्थित होते हैं। इन संख्याओं को मैट्रिक्स के तत्व कहा जाता है। मैट्रिक्स का आकार या आयाम उसकी पंक्तियों और स्तम्भों की संख्या से परिभाषित होता है। उदाहरण के लिए, 3 पंक्तियों और 2 स्तम्भों वाला एक मैट्रिक्स 3x2 मैट्रिक्स होगा।

यहाँ एक उदाहरण है:

A = | 1 2 | | 3 4 | | 5 6 |

यहाँ, मैट्रिक्स A एक 3x2 मैट्रिक्स है।

मैट्रिक्स के प्रकार

संचालन में गहराई से जाने से पहले, विभिन्न प्रकार के मैट्रिक्स को समझना आवश्यक है:

  • पंक्ति मैट्रिक्स: केवल एक पंक्ति वाला मैट्रिक्स। उदाहरण:
    R = | 7 8 9 |
  • स्तम्भ मैट्रिक्स: केवल एक स्तम्भ वाला मैट्रिक्स। उदाहरण:
    C = | 1 | | 4 | | 7 |
  • वर्ग मैट्रिक्स: समान संख्या वाली पंक्तियों और स्तम्भों वाला मैट्रिक्स। उदाहरण:
    Q = | 5 6 | | 7 8 |
  • आरोही मैट्रिक्स: एक वर्ग मैट्रिक्स जिसमें मुख्य संक्रमण के बाहर सभी तत्व शून्य होते हैं। उदाहरण:
    D = | 3 0 0 | | 0 5 0 | | 0 0 9 |
  • पहचान मैट्रिक्स: एक वर्ग मैट्रिक्स जिसमें सभी मुख्य संक्रमण के तत्व एक होते हैं, और सभी अन्य तत्व शून्य होते हैं। आमतौर पर I के रूप में दर्शाया गया उदाहरण:
    I = | 1 0 0 | | 0 1 0 | | 0 0 1 |

मैट्रिक्स की योग और घटाव

मैट्रिक्स की योग और घटाव अपेक्षाकृत सरल संचालन हैं, लेकिन एक महत्वपूर्ण शर्त है: जो मैट्रिक्स जोड़ी जानी है या घटाई जानी है, वे एक ही आयाम के होने चाहिए।

मैट्रिक्स की योग

दो मैट्रिक्स को जोड़ने के लिए, बस उनके संबंधित तत्वों को जोड़ें। उदाहरण के लिए:

A = | 2 3 | B = | 4 1 | | 5 7 | | 0 2 | A + B = | (2+4) (3+1) | | (5+0) (7+2) | = | 6 4 | | 5 9 |

मैट्रिक्स की घटाव

एक मैट्रिक्स से दूसरे को घटाने के लिए, उनके संबंधित तत्वों को घटाएँ। उदाहरण के लिए:

A = | 6 4 | B = | 1 3 | | 2 5 | | 4 7 | A - B = | (6-1) (4-3) | | (2-4) (5-7) | = | 5 1 | |-2 -2 |

स्केलर गुणा

स्केलर गुणा में एक मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को एक स्केलर (वास्तविक संख्या) से गुणा करना शामिल होता है। उदाहरण के लिए:

k = 3, A = | 2 1 | | 3 4 | kA = | 3*2 3*1 | | 3*3 3*4 | = | 6 3 | | 9 12 |

मैट्रिक्स गुणा

मैट्रिक्स गुणा योग, घटाव, या स्केलर गुणा की तुलना में थोड़ा अधिक जटिल है। दो मैट्रिक्स को तभी गुणा किया जा सकता है जब पहले मैट्रिक्स में स्तम्भों की संख्या दूसरे मैट्रिक्स की पंक्तियों की संख्या के बराबर हो।

उदाहरण के लिए, दो मैट्रिक्स A और B पर विचार करें जहाँ:

A = | 3 4 2 | a 1x3 मैट्रिक्स B = | 13 9 7 15| b 3x4 मैट्रिक्स | 8 7 4 6 | | 6 4 0 3 | परिणामित मैट्रिक्स C, जहाँ C = A x B, का आकार 1x4 होगा।

मैट्रिक्स उत्पाद A x B के ith पंक्ति और jth स्तम्भ में तत्व की गणना करने के लिए, A की ith पंक्ति और B के jth स्तम्भ के डॉट उत्पाद को करें। पहले तत्व के लिए आप इसे ऐसे करें:

C11 = (3 * 13) + (4 * 8) + (2 * 6) = 39 + 32 + 12 = 83

इस प्रकार सभी तत्वों की गणना करें और परिणामी मैट्रिक्स C प्राप्त करें।

मैट्रिक्स को सम्प्रेषण

मैट्रिक्स का सम्प्रेषण उसकी पंक्तियों को स्तम्भों के साथ और स्तम्भों को पंक्तियों के साथ बदलकर किया जाता है। आमतौर पर सम्प्रेषण मैट्रिक्स A को AT के रूप में दर्शाते हैं।

उदाहरण के लिए, यदि:

A = | 3 7 | | 5 6 | | 8 9 |

तो, A का सम्प्रेषण होगा:

AT = | 3 5 8 | | 7 6 9 |

पहचान मैट्रिक्स और प्रतिलोम मैट्रिक्स

गुणा के लिए पहचान मैट्रिक्स वैसा ही है जैसा संख्याओं के गुणन के लिए संख्या 1। पहचान मैट्रिक्स I एक वर्ग मैट्रिक्स है जिसमें सभी विकर्ण तत्व एक के बराबर होते हैं और अन्य तत्व शून्य के बराबर होते हैं।

प्रतिलोम मैट्रिक्स

केवल वर्ग मैट्रिक्स का प्रतिलोम होता है, और सभी वर्ग मैट्रिक्स का प्रतिलोम नहीं होता। यदि यह होता है, तो मैट्रिक्स A का प्रतिलोम मैट्रिक्स A-1 होता है, ऐसे कि:

A * A-1 = I

जहाँ I पहचान मैट्रिक्स है।

निष्कर्ष

मैट्रिक्स संचालन को समझना मैट्रिक्स से निपटने का एक मूलभूत पहलू है। ये संचालन अधिक जटिल गणितीय कार्यों के लिए रीढ़ की हड्डी का निर्माण करते हैं और कई वैज्ञानिक विश्लेषणों में आवश्यक उपकरण होते हैं।

इन संचालन के बारे में अपनी समझ को मजबूत करने के लिए विभिन्न मैट्रिक्स के साथ अभ्यास करने के लिए प्रेरित महसूस करें। समय के साथ, ये अवधारणाएँ सहज हो जाएंगी क्योंकि आप मैट्रिक्स से जुड़े गणित के साथ अधिक सहज हो जाते हैं।


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मैट्रिक्स के संचालन को समझना

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