Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Tipos de matrices


Las matrices son un concepto fundamental en matemáticas, especialmente en el campo del álgebra lineal. Se utilizan para representar y resolver problemas que involucran sistemas de ecuaciones lineales, para realizar transformaciones en el espacio, para procesar datos de imágenes y en muchas otras aplicaciones. Una matriz es un arreglo rectangular de números u otros objetos matemáticos, dispuestos en filas y columnas.

En esta extensa explicación, repasaremos los diferentes tipos de matrices que probablemente encontrará en matemáticas. También presentaremos varios ejemplos, algunos usando código y otros usando texto, para ayudarle a entender más a fondo estos tipos de matrices.

1. Matriz fila

Una matriz fila es una matriz que tiene solo una fila y múltiples columnas. Se representa de la siguiente manera:

A = [a 1 a 2 a 3 ... a n ]

A continuación, un ejemplo de una matriz fila:

A = [5 7 9]

representación visual:

[ 5 7 9 ]

2. Matriz columna

Una matriz columna es una matriz que tiene solo una columna y múltiples filas. Se representa de la siguiente forma:

B = [ b 1 b 2 b 3 ... b n ]

Aquí hay un ejemplo de una matriz columna:

B = [ 6 8 10 ]

representación visual:

6 8 10

3. Matriz cuadrada

Una matriz cuadrada tiene igual número de filas y columnas. Esto significa que su dimensión es n x n. Se puede escribir como:

C = [ c 11 c 12 ... c 1n c 21 c 22 ... c 2n ... c n1 c n2 ... c nn ]

Ejemplo:

C = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ]

representación visual:

1 2 3 4 5 6 7 8 9

4. Matriz diagonal

Una matriz diagonal es un tipo especial de matriz cuadrada donde todos los elementos fuera de la diagonal principal son cero. Esto significa que los únicos elementos diferentes de cero están en la diagonal principal, de arriba a la izquierda hacia abajo a la derecha. Tiene la forma:

D = [ d 11 0 0 0 d 22 0 0 0 d 33 ... ]

Ejemplo:

D = [ 2 0 0 0 3 0 0 0 5 ]

representación visual:

2 0 0 0 3 0 0 0 5

5. Matriz escalar

Una matriz escalar es una matriz diagonal donde todos los elementos en la diagonal principal son iguales.

E = [ k 0 0 0 k 0 0 0 k ... ]

Ejemplo con un valor escalar de 7:

E = [ 7 0 0 0 7 0 0 0 7 ]

representación visual:

7 0 0 0 7 0 0 0 7

6. Matriz identidad

La matriz identidad es un tipo especial de matriz cuadrada donde todos los elementos de la diagonal principal son 1 y los demás elementos son 0. Esta matriz también se suele representar como I :

I = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ... ]

Ejemplo:

I = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ]

representación visual:

1 0 0 0 1 0 0 0 1

7. Matrices nulas o no nulas

Una matriz nula o cero es una matriz cuyos elementos son todos cero. Puede ser de cualquier dimensión.

O = [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ]

Ejemplo:

O = [ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ]

representación visual:

0 0 0 0 0 0 0 0 0

8. Matriz triangular superior

La matriz triangular superior es un tipo de matriz cuadrada donde todos los elementos por debajo de la diagonal principal son cero. Tiene la forma:

U = [ u 11 u 12 u 13 0 u 22 u 23 0 0 u 33 ... ]

Ejemplo:

U = [ 1 2 3 0 5 6 0 0 9 ]

representación visual:

1 2 3 0 5 6 0 0 9

9. Matriz triangular inferior

La matriz triangular inferior es una matriz cuadrada donde todos los elementos por encima de la diagonal principal son cero. Luce de esta manera:

L = [ l 11 0 0 l 21 l 22 0 l 31 l 32 l 33 ... ]

Ejemplo:

L = [ 4 0 0 2 5 0 3 6 9 ]

representación visual:

4 0 0 2 5 0 3 6 9

10. Matrices singulares y no singulares

Se dice que una matriz cuadrada es singular si su determinante es cero, lo cual significa que no tiene inversa. Por el contrario, una matriz no singular es aquella cuyo determinante no es cero, permitiendo que la matriz tenga una inversa. Los determinantes pueden parecer complicados al principio, pero a menudo los calculará cuando trabaje regularmente con matrices.

Ejemplo de matriz singular (determinante = 0):

S = [ 2 3 4 6 ] -> determinante = (2*6) - (3*4) = 0

Ejemplos de matrices no singulares:

N = [ 1 2 3 4 ] -> determinante = (1*4) - (2*3) = -2

Conclusión

En conclusión, las matrices vienen en muchas formas diferentes, cada una con sus propias propiedades y aplicaciones. Comprender estos diferentes tipos de matrices es esencial para una variedad de contextos matemáticos y aplicados. A medida que continúes tu estudio, encontrarás aplicaciones más complejas de estas matrices, especialmente cuando trabajes con sistemas de ecuaciones y transformaciones en múltiples dimensiones.


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