Класс 11
  1. Алгебра  1.1. Понимание последовательностей и рядов в алгебре  1.1.1. Понимание арифметических последовательностей  1.1.2. Арифметические прогрессии  1.1.3. Понимание геометрических последовательностей  1.1.4. Понимание геометрических рядов  1.1.5. Сходимость и расходимость  1.1.6. Понимание "суммы до бесконечности" в алгебре  1.1.7. Обозначение Сигма  1.2. Комплексные числа  1.2.1. Понимание мнимых и комплексных чисел  1.2.2. Операции с комплексными числами  1.2.3. Полярная и декартова формы комплексных чисел  1.2.4. Комплексные сопряженные  1.2.5. Модуль и аргумент  1.2.6. Теорема Муавра  1.2.7. Степени и корни комплексных чисел  1.3. Бином Ньютона  1.3.1. Расширение бинома  1.3.2. Общие термины в биномиальной теореме  1.3.3. Биномиальный коэффициент  1.3.4. Применения биномиальной теоремы  1.3.5. Треугольник Паскаля
  2. Функции и графики  2.1. Типы задач  2.1.1. Полиномиальная функция  2.1.2. Рациональные функции  2.1.3. Экспоненциальная функция  2.1.4. Логарифмическая функция  2.1.5. Тригонометрические функции  2.1.6. Поштучная работа  2.2. Преобразование функций  2.2.1. Перевод  2.2.2. Понимание отражений в преобразованиях функций  2.2.3. Растяжение и растяжение  2.2.4. Понимание вращения в функциях и графиках  2.3. Обратная функция  2.3.1. Нахождение обратной функции  2.3.2. Графики обратных функций  2.3.3. Свойства обратных функций  2.3.4. Ограничения для обратных функций
  3. Тригонометрия  3.1. Тригонометрические отношения и идентичности  3.1.1. Основные тригонометрические отношения  3.1.2. Понимание пифагорейских тождеств в тригонометрии  3.1.3. Формулы суммы и разности углов  3.1.4. Формула двойного угла  3.1.5. Понимание формул половинного угла в тригонометрии  3.1.6. Формулы произведения к сумме и суммы к произведению  3.2. Тригонометрические уравнения  3.2.1. Решение тригонометрических уравнений  3.2.2. Общие решения в тригонометрических уравнениях  3.3. Графики тригонометрических функций  3.3.1. График синуса  3.3.2. Понимание графика косинуса  3.3.3. График тангенса  3.3.4. Регулировка амплитуды и длительности  3.3.5. Фазовое изменение на графике тригонометрических функций  3.4. Применение тригонометрии  3.4.1. Законы синусов и косинусов  3.4.2. Площадь треугольников  3.4.3. Решение треугольников  3.4.4. Подшипники и навигация
  4. Введение в математический анализ  4.1. Понимание пределов и непрерывности в математическом анализе  4.1.1. Понятие предела  4.1.2. Односторонние пределы  4.1.3. Понимание пределов на бесконечности в математическом анализе  4.1.4. Непрерывность функции  4.1.5. Типы разрывов  4.2. Дискриминация  4.2.1. Определение производной  4.2.2. Правила дифференцирования  4.2.3. Производные высшего порядка  4.2.4. Правило цепи  4.2.5. Правило произведения  4.2.6. Понимание правила частного в математическом анализе  4.3. Применение дифференцирования  4.3.1. Скорость изменения  4.3.2. Касательная и нормаль  4.3.3. Максимум и минимум  4.3.4. Понимание возрастающих и убывающих функций  4.3.5. Задачи оптимизации  4.3.6. График кривой  4.3.7. Связанные скорости в применениях дифференцирования  4.4. Что такое интеграция?  4.4.1. Первообразные  4.4.2. Неопределенный интеграл  4.4.3. Определенный интеграл  4.4.4. Основная теорема анализа  4.4.5. Техники интеграции  4.4.6. Понимание площади под кривой в интегрировании  4.5. Применения интегрирования  4.5.1. Площадь между кривыми  4.5.2. Объемы тел вращения  4.5.3. Понимание среднего значения функции в математическом анализе
  5. Векторы и матрицы  5.1. Векторы  5.1.1. Введение  5.1.2. Операции с векторами  5.1.3. Понимание скалярного произведения  5.1.4. Векторное произведение  5.1.5. Применение в геометрии  5.1.6. Проекция векторов  5.2. Матрицы  5.2.1. Типы матриц  5.2.2. Понимание операций с матрицами  5.2.3. Определители  5.2.4. Обратная матрица  5.2.5. Решение систем линейных уравнений  5.2.6. Правило Крамера
  6. Вероятность и статистика  6.1. Понимание вероятности в математике  6.1.1. Основные понятия вероятности  6.1.2. Условная вероятность  6.1.3. Введение в независимые и зависимые события в теории вероятностей  6.1.4. Теорема Байеса  6.1.5. Комбинаторная вероятность  6.2. Случайные величины  6.2.1. Дискретная случайная величина  6.2.2. Непрерывная случайная величина  6.2.3. Распределения вероятностей  6.3. Распределения вероятностей  6.3.1. Понимание биномиального распределения  6.3.2. Нормальное распределение  6.3.3. Распределение Пуассона  6.3.4. Равномерное распределение  6.4. Фигуры  6.4.1. Меры центральной тенденции  6.4.2. Меры разброса  6.4.3. Сбор и представление данных  6.4.4. Корреляция и Регрессия  6.4.5. Техники выборки
  7. Координатная геометрия  7.1. Прямые линии в координатной геометрии  7.1.1. Форма наклона и пересечения в координатной геометрии  7.1.2. Формула расстояния в прямых линиях  7.1.3. Понимание формулы средней точки в координатной геометрии  7.1.4. Угол между линиями  7.1.5. Уравнение прямых  7.2. Конические сечения  7.2.1. Круг  7.2.2. Введение в параболы  7.2.3. Эллипс в коническом сечении  7.2.4. Понимание гиперболы в конических сечениях  7.2.5. Свойства конических сечений  7.2.6. Параметрические уравнения конусов  7.2.7. Полярные координаты коник
  8. Арифметическая логика  8.1. Введение в логику в математической логике  8.1.1. Утверждения и логические связки  8.1.2. Таблицы истинности  8.1.3. Логическое равенство  8.1.4. Кванторы в логике и математической логике  8.1.5. Методы доказательств  8.2. Понимание доказательств в математической логике  8.2.1. Прямое доказательство  8.2.2. Косвенные доказательства  8.2.3. Понимание доказательства от противного  8.2.4. Доказательство по математической индукции

Класс 11 → Векторы и матрицы ↓


Векторы


Добро пожаловать в путешествие по миру векторов. Векторы - это увлекательные математические объекты, которые имеют как величину, так и направление. Они являются основополагающими в математике и имеют множество применений в физике, инженерии и компьютерных науках. Этот урок поможет вам понять, что такое векторы, как мы их представляем и как они могут использоваться в практических ситуациях. Не беспокойтесь, если вы еще новичок в этой теме; мы начнем с основ и будем двигаться вперед!

Что такое вектор?

В простых терминах вектор - это объект, который имеет два основных свойства:

  • Величина: это показывает, насколько длинный или большой вектор.
  • Направление: указывает, в каком направлении указывает вектор.

Вы можете представить себе вектор как стрелку. Длина стрелки представляет его величину, а то, куда она указывает, - его направление. Векторы могут существовать в одном, двух или трех измерениях. Для простоты мы будем часто использовать двумерные векторы в наших примерах.

Представление векторов

Наиболее распространенный способ представления векторов - это использование координат. В двумерной плоскости вектор можно выразить в виде упорядоченной пары (x, y), где x и y - это компоненты вектора. Например, вектор v можно записать как:

v = (3, 4)

Здесь у вектора v компонент x равен 3, а компонент y равен 4. Давайте визуализируем это:

(3, 4) 3 4

На этом рисунке мы нанесли вектор (3, 4). Стрелка начинается в начале координат (0, 0) и указывает на координату (3, 4).

Величина вектора

Величина (или длина) вектора - это мера его длины. Для двумерного вектора v = (x, y) величина |v| может быть вычислена с использованием теоремы Пифагора:

|v| = √(x² + y²)

Эта формула получается, если рассматривать вектор как гипотенузу прямоугольного треугольника с катетами x и y. Давайте рассчитаем величину вектора v = (3, 4):

|v| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

Величина v равна 5. Это означает, что если мы хотим измерить длину вектора напрямую, то его длина будет 5 единиц.

Направление вектора

Направление вектора указывает, под каким углом он делает относительно опорного направления, обычно положительной оси x. Направление θ вектора v = (x, y) можно определить с помощью тригонометрии. В частности, используется функция тангенса:

tan(θ) = y / x

Чтобы найти θ, используем обратную тангенс (арктангенс или tan-1) функцию:

θ = arctan(y / x)

Это даст нам угол направления в радианах или градусах. Давайте найдем направление нашего вектора v = (3, 4):

θ = arctan(4 / 3) ≈ 53.13° (градусов)

Таким образом, вектор указывает на угол приблизительно 53.13 градусов относительно положительной оси x.

Типы векторов

В математике мы сталкиваемся с различными типами векторов в зависимости от их свойств и способов их использования. Вот некоторые важные типы:

  • Нулевой вектор: Вектор с нулевой величиной и без определенного направления. Представляется как (0, 0).
  • Единичный вектор: Вектор с величиной 1. Часто используется для указания только направления.
  • Позиционный вектор: Вектор, который идет от начала координат до конкретной точки в пространстве. Используется для представления местоположения точки.
  • Равные векторы: Два вектора, имеющие одинаковую величину и направление, независимо от их начальной точки.
  • Отрицательный вектор: Вектор, который имеет ту же величину, что и другой вектор, но указывает в противоположном направлении.

Операции над векторами

Векторы также можно складывать, вычитать и умножать. Давайте рассмотрим эти операции подробнее:

Сложение векторов

Сложение двух векторов заключается в добавлении их соответствующих компонентов. Если у нас есть два вектора v = (x1, y1) и w = (x2, y2), их сумма v + w дается следующим образом:

v + w = (x1 + x2, y1 + y2)

Например, если v = (3, 4) и w = (1, 2), то:

v + w = (3 + 1, 4 + 2) = (4, 6)

Представьте себе это сложение:

(3, 4) (4, 6) (1, 2)

На этом рисунке сложение представляет собой соединение хвоста w с головой v. Получающийся вектор, выделенный красным, - это (4, 6).

Вычитание векторов

Вычитание векторов то же самое, что и сложение. Чтобы найти разность между двумя векторами v = (x1, y1) и w = (x2, y2), используем:

v - w = (x1 - x2, y1 - y2)

Следуя тем же вектором v = (3, 4) и w = (1, 2), вычитание будет следующим:

v - w = (3 - 1, 4 - 2) = (2, 2)

Умножение векторов на скаляр

Умножение вектора на скаляр включает умножение каждого компонента вектора на этот скаляр. Для вектора v = (x, y) и скаляра k произведение выглядит следующим образом:

k * v = (k * x, k * y)

Если v = (3, 4) и k = 2, то:

k * v = (2 * 3, 2 * 4) = (6, 8)

Эта операция растягивает или сжимает вектор в зависимости от значения скаляра.

Применение векторов

Векторы чрезвычайно полезны в реальных приложениях. Вот несколько примеров:

  • Физика: Векторы используются для представления величин, таких как скорость, сила и ускорение. Они помогают визуально понимать эти величины и решать связанные с ними задачи.
  • Инженерия: В структурном анализе векторы помогают определить силы и возникающие напряжения на материалах.
  • Компьютерная графика: Векторы необходимы при отрисовке изображений и анимаций, моделировании движения и создании 3D моделей.

Рассмотрим простой пример в физике. Представьте, что автомобиль движется на восток со скоростью 60 км/ч, а затем поворачивает на север с той же скоростью. Вы можете представить эти скорости в виде векторов и использовать сложение векторов для определения результирующего пути автомобиля.

Заключение

Мы рассмотрели основные понятия о векторах, начиная с понимания их свойств, выполнения операций и рассмотрения некоторых применений. Векторы - это мощные инструменты в математическом наборе инструментов, облегчающие решение задач в различных областях. Красота и адаптируемость векторов делают их незаменимыми в разнообразных математических темах и практических приложениях.


Класс 11 → 5.1


U
username
0%
завершено в Класс 11

← предыдущая (5)
Векторы и матрицы
следующая (5.1.1) →
Введение

комментарии 



Векторы

https://www.buddymath.com/g11/5.1?bmal=ru