11º ano
  1. Álgebra  1.1. Compreendendo Sequências e Séries em Álgebra  1.1.1. Compreendendo sequências aritméticas  1.1.2. Séries aritméticas  1.1.3. Compreendendo sequências geométricas  1.1.4. Entendendo séries geométricas  1.1.5. Convergência e divergência  1.1.6. Entendendo "soma ao infinito" na álgebra  1.1.7. Notação sigma  1.2. Números complexos  1.2.1. Compreendendo números imaginários e complexos  1.2.2. Operações com números complexos  1.2.3. Formas polar e cartesiana dos números complexos  1.2.4. Conjugados complexos  1.2.5. Módulo e argumento  1.2.6. Teorema de De Moivre  1.2.7. Potências e raízes de números complexos  1.3. Teorema Binomial  1.3.1. Expansão de um binômio  1.3.2. Termos comuns no teorema binomial  1.3.3. Coeficiente Binomial  1.3.4. Aplicações do Teorema Binomial  1.3.5. Triângulo de Pascal
  2. Funções e gráficos  2.1. Tipos de tarefas  2.1.1. Funções Polinomiais  2.1.2. Funções racionais  2.1.3. Função exponencial  2.1.4. Função logarítmica  2.1.5. Funções trigonométricas  2.1.6. Trabalho aos pedaços  2.2. Conversão de funções  2.2.1. Tradução  2.2.2. Compreendendo reflexões nas transformações de funções  2.2.3. Esticar e esticar  2.2.4. Compreendendo a rotação em funções e gráficos  2.3. Função Inversa  2.3.1. Encontrando o inverso  2.3.2. Gráficos de funções inversas  2.3.3. Propriedades da função inversa  2.3.4. Restrições para inversos
  3. Trigonometria  3.1. Razões e identidades trigonométricas  3.1.1. Relações trigonométricas básicas  3.1.2. Entendendo as identidades pitagóricas na trigonometria  3.1.3. Fórmulas de soma e diferença  3.1.4. Fórmula do ângulo duplo  3.1.5. Compreendendo as fórmulas de meia-ângulo na trigonometria  3.1.6. Fórmulas de produto a soma e soma a produto  3.2. Equações trigonométricas  3.2.1. Resolvendo equações trigonométricas  3.2.2. Soluções gerais em equações trigonométricas  3.3. Gráficos de funções trigonométricas  3.3.1. Gráfico de seno  3.3.2. Compreendendo o gráfico do cosseno  3.3.3. Gráfico da tangente  3.3.4. Ajuste de amplitude e duração  3.3.5. Mudança de fase no gráfico de funções trigonométricas  3.4. Aplicações da Trigonometria  3.4.1. Leis dos senos e cossenos  3.4.2. Área de triângulos  3.4.3. Resolvendo triângulos  3.4.4. Rolamentos e navegação
  4. Introdução ao cálculo  4.1. Compreendendo limites e continuidade em cálculo  4.1.1. O conceito de limite  4.1.2. Limites unilaterais  4.1.3. Compreendendo limites no infinito em cálculo  4.1.4. Continuidade de uma função  4.1.5. Tipos de descontinuidade  4.2. Discriminação  4.2.1. Definição de derivada  4.2.2. Regras de diferenciação  4.2.3. Derivadas de ordem superior  4.2.4. Regra da cadeia  4.2.5. Regra do produto  4.2.6. Compreendendo a regra do quociente no cálculo  4.3. Aplicações da diferenciação  4.3.1. Taxa de variação  4.3.2. Tangente e normal  4.3.3. Máximos e mínimos  4.3.4. Entendendo funções crescentes e decrescentes  4.3.5. Problemas de otimização  4.3.6. Traçando uma curva  4.3.7. Taxas relacionadas em aplicações de diferenciação  4.4. O que é integração?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema Fundamental do Cálculo  4.4.5. Técnicas de Integração  4.4.6. Compreendendo a área sob a curva na integração  4.5. Aplicações da integração  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volumes de sólidos de revolução  4.5.3. Compreendendo o valor médio de uma função no cálculo
  5. Vetores e matrizes  5.1. Vetores  5.1.1. Introdução  5.1.2. Operações com vetores  5.1.3. Compreendendo o Produto Escalar  5.1.4. Produto vetorial  5.1.5. Aplicações em geometria  5.1.6. Projeção de vetores  5.2. Matrizes  5.2.1. Tipos de matrizes  5.2.2. Compreendendo operações com matrizes  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de uma Matriz  5.2.5. Resolvendo sistemas de equações lineares  5.2.6. Regra de Cramer
  6. Probabilidade e Estatística  6.1. Entendendo a probabilidade em matemática  6.1.1. Conceitos básicos de probabilidade  6.1.2. Probabilidade condicional  6.1.3. Introdução a eventos independentes e dependentes em probabilidade  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidade combinatória  6.2. Variáveis aleatórias  6.2.1. Distribuição de variáveis ​​aleatórias discretas  6.2.2. Variável aleatória contínua  6.2.3. Distribuições de probabilidade  6.3. Distribuições de probabilidade  6.3.1. Compreendendo a distribuição binomial  6.3.2. Distribuição normal  6.3.3. Distribuição de Poisson  6.3.4. Distribuição igual  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendência central  6.4.2. Medidas de dispersão  6.4.3. Coleta e representação de dados  6.4.4. Correlação e Regressão  6.4.5. Técnicas de amostragem
  7. Geometria Analítica  7.1. Retas em geometria coordenada  7.1.1. Forma de inclinação e intercepto na geometria coordenada  7.1.2. Fórmula de distância em linhas retas  7.1.3. Compreendendo a fórmula do ponto médio na geometria analítica  7.1.4. Ângulo entre linhas  7.1.5. Equação de linhas  7.2. Seções cônicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introdução às parábolas  7.2.3. Elipse na seção cônica  7.2.4. Compreendendo a hipérbole em seções cônicas  7.2.5. Propriedades dos cônicos  7.2.6. Equações paramétricas de cones  7.2.7. Coordenadas polares de cônicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introdução à lógica na lógica matemática  8.1.1. Declarações e conectivos lógicos  8.1.2. Tabelas-verdade  8.1.3. Equivalência lógica  8.1.4. Quantificadores na lógica na lógica matemática  8.1.5. Técnicas de prova  8.2. Entendendo provas em lógica matemática  8.2.1. Evidência direta  8.2.2. Prova indireta  8.2.3. Compreendendo a prova por contradição  8.2.4. Prova por indução matemática

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Vetores


Bem-vindo à jornada no mundo dos vetores. Vetores são objetos matemáticos fascinantes que possuem tanto magnitude quanto direção. Eles são essenciais na matemática e têm muitas aplicações em física, engenharia e ciência da computação. Esta lição vai ajudá-lo a entender o que são vetores, como os representamos e como podem ser usados em situações práticas. Não se preocupe se você é novo nisso; vamos começar com o básico e seguir em frente!

O que é um vetor?

Em termos simples, um vetor é uma entidade que possui duas propriedades principais:

  • Magnitude: Isso nos informa quão longo ou grande o vetor é.
  • Direção: Indica a direção para a qual o vetor está apontando.

Você pode pensar em um vetor como uma flecha. O comprimento da flecha representa sua magnitude, enquanto a forma como aponta representa sua direção. Vetores podem existir em uma, duas ou três dimensões. Por simplicidade, frequentemente usaremos vetores bidimensionais em nossos exemplos.

Representação de vetores

A maneira mais comum de representar vetores é usando coordenadas. Em um plano bidimensional, um vetor pode ser expresso como um par ordenado (x, y), onde x e y são os componentes do vetor. Por exemplo, um vetor v pode ser escrito como:

v = (3, 4)

Aqui, o vetor v tem componente x 3 e componente y 4. Vamos visualizar isso:

(3, 4) 3 4

Nesta ilustração, nós plotamos o vetor (3, 4). A flecha começa na origem (0, 0) e aponta para a coordenada (3, 4).

Magnitude de um vetor

A magnitude (ou comprimento) de um vetor é uma medida de quão longo ele é. Para um vetor bidimensional v = (x, y), a magnitude |v| pode ser calculada usando o Teorema de Pitágoras:

|v| = √(x² + y²)

Essa fórmula vem de considerar o vetor como a hipotenusa de um triângulo retângulo com catetos x e y. Vamos calcular a magnitude do vetor v = (3, 4):

|v| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

A magnitude de v é 5. Isso significa que, se quisermos medir o comprimento do vetor diretamente, então seu comprimento será de 5 unidades.

Direção do vetor

A direção de um vetor nos diz qual ângulo ele faz com a direção de referência, geralmente o eixo x positivo. A direção θ de um vetor v = (x, y) pode ser determinada usando trigonometria. Especificamente, usamos a função tangente:

tan(θ) = y / x

Para encontrar θ, usamos a função arco tangente (arctan ou tan-1):

θ = arctan(y / x)

Isso nos dará o ângulo de direção em radianos ou graus. Vamos encontrar a direção do nosso vetor v = (3, 4):

θ = arctan(4 / 3) ≈ 53.13° (graus)

Portanto, o vetor aponta para um ângulo de aproximadamente 53.13 graus em relação ao eixo x positivo.

Tipos de vetores

Na matemática, encontramos diferentes tipos de vetores, dependendo de suas propriedades e da forma como são usados. Aqui estão alguns tipos importantes:

  • Vetor nulo: Um vetor com magnitude zero e sem direção específica. É representado como (0, 0).
  • Vetor unitário: Um vetor que possui magnitude 1. É frequentemente usado para indicar direção apenas.
  • Vetor de posição: Um vetor que se estende da origem a um ponto específico no espaço. É usado para representar a localização de um ponto.
  • Vetores iguais: Dois vetores que possuem a mesma magnitude e direção, independentemente de seu ponto inicial.
  • Vetor negativo: Um vetor que possui a mesma magnitude que outro vetor, mas aponta em direção oposta.

Operações com vetores

Vetores também podem ser somados, subtraídos e multiplicados. Vamos analisar essas operações em detalhe:

Adição de vetores

A adição de dois vetores consiste em somar seus componentes correspondentes. Se tivermos dois vetores v = (x1, y1) e w = (x2, y2), sua soma v + w é dada por:

v + w = (x1 + x2, y1 + y2)

Por exemplo, se v = (3, 4) e w = (1, 2), então:

v + w = (3 + 1, 4 + 2) = (4, 6)

Imagine esta adição:

(3, 4) (4, 6) (1, 2)

Nesta ilustração, a adição é essencialmente colocar a cauda de w na cabeça de v. O vetor resultante, em vermelho, é (4, 6).

Subtração de vetores

Subtrair vetores é o mesmo que somar. Para encontrar a diferença entre dois vetores v = (x1, y1) e w = (x2, y2), usamos:

v - w = (x1 - x2, y1 - y2)

Usando os mesmos vetores v = (3, 4) e w = (1, 2), a subtração é a seguinte:

v - w = (3 - 1, 4 - 2) = (2, 2)

Multiplicação de vetores por um escalar

Multiplicar um vetor por um escalar envolve multiplicar cada componente do vetor por esse escalar. Para um vetor v = (x, y) e um escalar k, o produto é:

k * v = (k * x, k * y)

Se v = (3, 4) e k = 2, então:

k * v = (2 * 3, 2 * 4) = (6, 8)

Esta operação estica ou comprime o vetor dependendo do valor do escalar.

Aplicações dos vetores

Vetores são extremamente úteis em aplicações do mundo real. Aqui estão alguns exemplos:

  • Física: Vetores são usados para representar quantidades como velocidade, força e aceleração. Eles ajudam a entender essas quantidades visualmente e a resolver problemas relacionados.
  • Engenharia: Na análise estrutural, vetores ajudam a determinar forças e tensões resultantes em materiais.
  • Gráficos de computador: Vetores são essenciais na renderização de imagens e animações, simulação de movimento e criação de modelos 3D.

Vamos considerar um exemplo simples em física. Imagine um carro viajando para o leste a 60 km/h e, em seguida, desviando para o norte na mesma velocidade. Você pode representar essas velocidades como vetores e usar a adição vetorial para determinar o caminho resultante do carro.

Conclusão

Abordamos os conceitos básicos de vetores, desde o entendimento de suas propriedades até a realização de operações e análise de algumas aplicações. Vetores são ferramentas poderosas na caixa de ferramentas matemática, facilitando a resolução de problemas em uma variedade de campos. A beleza e adaptabilidade dos vetores os tornam indispensáveis em uma variedade de tópicos matemáticos e aplicações práticas.


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