Grado 11
  1. Álgebra  1.1. Comprender Secuencias y Series en Álgebra  1.1.1. Entendiendo las secuencias aritméticas  1.1.2. Series aritmética  1.1.3. Comprender las secuencias geométricas  1.1.4. Entendiendo series geométricas  1.1.5. Convergencia y divergencia  1.1.6. Entendiendo "suma al infinito" en álgebra  1.1.7. Notación sigma  1.2. Números complejos  1.2.1. Comprendiendo los números imaginarios y complejos  1.2.2. Operaciones con números complejos  1.2.3. Formas polares y cartesianas de números complejos  1.2.4. Conjugados complejos  1.2.5. Módulo y argumento  1.2.6. El teorema de De Moivre  1.2.7. Potencias y raíces de números complejos  1.3. Teorema binomial  1.3.1. Expansión de un binomio  1.3.2. Términos comunes en el teorema del binomio  1.3.3. Coeficiente binomial  1.3.4. Aplicaciones del Teorema Binomial  1.3.5. Triángulo de Pascal
  2. Funciones y gráficos  2.1. Tipos de tareas  2.1.1. Función polinómica  2.1.2. Funciones racionales  2.1.3. Función exponencial  2.1.4. Función logarítmica  2.1.5. Funciones trigonométricas  2.1.6. Trabajo por partes  2.2. Conversión de funciones  2.2.1. Traducción  2.2.2. Entender las reflexiones en transformaciones de funciones  2.2.3. Estirar y estirar  2.2.4. Comprensión de la rotación en funciones y gráficos  2.3. Función inversa  2.3.1. Encontrar la inversa  2.3.2. Gráficas de funciones inversas  2.3.3. Propiedades de la función inversa  2.3.4. Restricciones para inversas
  3. Trigonometría  3.1. Relaciones e identidades trigonométricas  3.1.1. Ratios trigonométricos básicos  3.1.2. Comprender las identidades pitagóricas en trigonometría  3.1.3. Fórmulas de suma y diferencia  3.1.4. Fórmula del ángulo doble  3.1.5. Comprendiendo las fórmulas de ángulo medio en trigonometría  3.1.6. Fórmulas de producto a suma y de suma a producto  3.2. Ecuaciones trigonométricas  3.2.1. Resolución de ecuaciones trigonométricas  3.2.2. Soluciones generales en ecuaciones trigonométricas  3.3. Gráficas de funciones trigonométricas  3.3.1. Gráfico del seno  3.3.2. Comprendiendo el gráfico del coseno  3.3.3. Gráfico de tangente  3.3.4. Ajuste de amplitud y duración  3.3.5. Cambio de fase en el gráfico de funciones trigonométricas  3.4. Aplicaciones de la trigonometría  3.4.1. Leyes de senos y cosenos  3.4.2. Área de triángulos  3.4.3. Resolviendo triángulos  3.4.4. Rodamientos y navegación
  4. Introducción al cálculo  4.1. Entendiendo límites y continuidad en cálculo  4.1.1. El concepto de límite  4.1.2. Límites unilaterales  4.1.3. Comprender los límites en el infinito en cálculo  4.1.4. Continuidad de una función  4.1.5. Tipos de discontinuidad  4.2. Discriminación  4.2.1. Definición de derivada  4.2.2. Reglas de diferenciación  4.2.3. Derivadas de orden superior  4.2.4. Regla de la cadena  4.2.5. Regla del producto  4.2.6. Comprender la regla del cociente en cálculo  4.3. Aplicaciones de la diferenciación  4.3.1. Tasa de cambio  4.3.2. Tangente y normal  4.3.3. Máximo y mínimo  4.3.4. Comprensión de funciones crecientes y decrecientes  4.3.5. Problemas de optimización  4.3.6. Graficar una curva  4.3.7. Tasas relacionadas en aplicaciones de la diferenciación  4.4. ¿Qué es la integración?  4.4.1. Antiderivadas  4.4.2. Integral indefinida  4.4.3. Integral definida  4.4.4. Teorema fundamental del cálculo  4.4.5. Técnicas de integración  4.4.6. Comprender el área bajo la curva en la integración  4.5. Aplicaciones de la integración  4.5.1. Área entre curvas  4.5.2. Volúmenes de sólidos de revolución  4.5.3. Comprender el valor promedio de una función en cálculo
  5. Vectores y matrices  5.1. Vectores  5.1.1. Introducción  5.1.2. Operaciones con vectores  5.1.3. Comprendiendo el Producto Punto  5.1.4. Producto cruz  5.1.5. Aplicaciones en geometría  5.1.6. Proyección de vectores  5.2. Matrices  5.2.1. Tipos de matrices  5.2.2. Comprendiendo las operaciones con matrices  5.2.3. Determinantes  5.2.4. Inverso de una matriz  5.2.5. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales  5.2.6. Regla de Cramer
  6. Probabilidad y estadísticas  6.1. Comprendiendo la probabilidad en matemáticas  6.1.1. Conceptos básicos de probabilidad  6.1.2. Probabilidad condicional  6.1.3. Introducción a eventos independientes y dependientes en probabilidad  6.1.4. Teorema de Bayes  6.1.5. Probabilidad combinatoria  6.2. Variables aleatorias  6.2.1. Variable aleatoria discreta  6.2.2. Variable aleatoria continua  6.2.3. Distribuciones de probabilidad  6.3. Distribuciones de probabilidad  6.3.1. Comprendiendo la distribución binomial  6.3.2. Distribución normal  6.3.3. Distribución de Poisson  6.3.4. Distribución uniforme  6.4. Figuras  6.4.1. Medidas de tendencia central  6.4.2. Medidas de dispersión  6.4.3. Recolección y representación de datos  6.4.4. Correlación y Regresión  6.4.5. Técnicas de muestreo
  7. Geometría coordinada  7.1. Líneas rectas en geometría coordinada  7.1.1. Forma de pendiente e intercepto en geometría de coordenadas  7.1.2. La fórmula de la distancia en líneas rectas  7.1.3. Entendiendo la fórmula del punto medio en la geometría de coordenadas  7.1.4. Ángulo entre líneas  7.1.5. Ecuación de líneas  7.2. Secciones cónicas  7.2.1. Círculo  7.2.2. Introducción a las parábolas  7.2.3. Elipse en una sección cónica  7.2.4. Comprendiendo la hipérbola en secciones cónicas  7.2.5. Propiedades de las cónicas  7.2.6. Ecuaciones paramétricas de conos  7.2.7. Coordenadas polares de las cónicas
  8. Lógica aritmética  8.1. Introducción a la lógica en la lógica matemática  8.1.1. Enunciados y conectivos lógicos  8.1.2. Tablas de verdad  8.1.3. Equivalencia lógica  8.1.4. Cuantificadores en lógica en lógica matemática  8.1.5. Técnicas de demostración  8.2. Comprender las pruebas en lógica matemática  8.2.1. Evidencia directa  8.2.2. Evidencia indirecta  8.2.3. Entendiendo la prueba por contradicción  8.2.4. Prueba por inducción matemática

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Vectores


Bienvenido al viaje en el mundo de los vectores. Los vectores son fascinantes objetos matemáticos que tienen tanto magnitud como dirección. Son esenciales en matemáticas y tienen muchas aplicaciones en física, ingeniería y ciencias de la computación. Esta lección te ayudará a entender qué son los vectores, cómo los representamos y cómo pueden ser utilizados en situaciones prácticas. ¡No te preocupes si eres nuevo en esto; comenzaremos con lo básico y avanzaremos!

¿Qué es un vector?

En términos simples, un vector es una entidad que tiene dos propiedades principales:

  • Magnitud: Esto nos dice cuán largo o grande es el vector.
  • Dirección: Indica la dirección a la que apunta el vector.

Puedes imaginar un vector como una flecha. La longitud de la flecha representa su magnitud, mientras que la forma en que apunta representa su dirección. Los vectores pueden existir en una, dos o tres dimensiones. Por simplicidad, a menudo utilizaremos vectores bidimensionales en nuestros ejemplos.

Representación de vectores

La forma más común de representar vectores es usando coordenadas. En un plano bidimensional, un vector puede expresarse como un par ordenado (x, y), donde x e y son los componentes del vector. Por ejemplo, un vector v puede escribirse como:

v = (3, 4)

Aquí, el vector v tiene un componente x de 3 y un componente y de 4. Visualicemos esto:

(3, 4) 3 4

En esta ilustración, hemos graficado el vector (3, 4). La flecha comienza en el origen (0, 0) y apunta a la coordenada (3, 4).

Magnitud de un vector

La magnitud (o longitud) de un vector es una medida de cuán largo es. Para un vector bidimensional v = (x, y), la magnitud |v| puede calcularse usando el Teorema de Pitágoras:

|v| = √(x² + y²)

Esta fórmula se deriva de considerar el vector como la hipotenusa de un triángulo rectángulo con catetos x e y. Calculémos la magnitud del vector v = (3, 4):

|v| = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

La magnitud de v es 5. Esto significa que si queremos medir la longitud del vector directamente, su longitud será de 5 unidades.

Dirección del vector

La dirección de un vector nos dice qué ángulo forma con la dirección de referencia, usualmente el eje x positivo. La dirección θ de un vector v = (x, y) puede determinarse usando trigonometría. Específicamente, usamos la función tangente:

tan(θ) = y / x

Para encontrar θ, usamos la función tangente inversa (arctan o tan-1):

θ = arctan(y / x)

Esto nos dará el ángulo de dirección en radianes o grados. Encontremos la dirección de nuestro vector v = (3, 4):

θ = arctan(4 / 3) ≈ 53.13° (grados)

Por lo tanto, el vector apunta en un ángulo de aproximadamente 53.13 grados con respecto al eje x positivo.

Tipos de vectores

En matemáticas, encontramos diferentes tipos de vectores dependiendo de sus propiedades y la forma en que se utilizan. Aquí hay algunos tipos importantes:

  • Vector cero: Un vector con magnitud cero y sin dirección específica. Se representa como (0, 0).
  • Vector unitario: Un vector que tiene una magnitud de 1. A menudo se usa para indicar solo la dirección.
  • Vector de posición: Un vector que se extiende desde el origen hasta un punto específico en el espacio. Se usa para representar la ubicación de un punto.
  • Vectores iguales: Dos vectores que tienen la misma magnitud y dirección, sin importar su punto inicial.
  • Vector negativo: Un vector que tiene la misma magnitud que otro vector, pero apunta en la dirección opuesta.

Operaciones con vectores

Los vectores también se pueden sumar, restar y multiplicar. Veamos estas operaciones en detalle:

Suma de vectores

La suma de dos vectores consiste en sumar sus componentes correspondientes. Si tenemos dos vectores v = (x1, y1) y w = (x2, y2), su suma v + w se da por:

v + w = (x1 + x2, y1 + y2)

Por ejemplo, si v = (3, 4) y w = (1, 2), entonces:

v + w = (3 + 1, 4 + 2) = (4, 6)

Imagina esta suma:

(3, 4) (4, 6) (1, 2)

En esta ilustración, la suma es esencialmente colocar la cola de w sobre la cabeza de v. El vector resultante, en rojo, es (4, 6).

Resta de vectores

Restar vectores es lo mismo que sumar. Para encontrar la diferencia entre dos vectores v = (x1, y1) y w = (x2, y2), se usa:

v - w = (x1 - x2, y1 - y2)

Siguiendo con los mismos vectores v = (3, 4) y w = (1, 2), la resta es la siguiente:

v - w = (3 - 1, 4 - 2) = (2, 2)

Multiplicación de vectores por un escalar

Multiplicar un vector por un escalar implica multiplicar cada componente del vector por dicho escalar. Para un vector v = (x, y) y un escalar k, el producto es:

k * v = (k * x, k * y)

Si v = (3, 4) y k = 2, entonces:

k * v = (2 * 3, 2 * 4) = (6, 8)

Esta operación estira o comprime el vector según el valor del escalar.

Aplicaciones de los vectores

Los vectores son extremadamente útiles en aplicaciones del mundo real. Aquí hay algunos ejemplos:

  • Física: Los vectores se usan para representar cantidades como velocidad, fuerza y aceleración. Ayudan a entender visualmente estas cantidades y a resolver problemas relacionados.
  • Ingeniería: En el análisis estructural, los vectores ayudan a determinar fuerzas y tensiones resultantes en los materiales.
  • Gráficos por computadora: Los vectores son esenciales en la renderización de imágenes y animaciones, simulación de movimiento y creación de modelos 3D.

Consideremos un ejemplo simple en física. Imagina que un coche está viajando hacia el este a 60 km/h y luego gira hacia el norte a la misma velocidad. Puedes representar estas velocidades como vectores y usar la suma de vectores para determinar la trayectoria resultante del coche.

Conclusión

Hemos cubierto los conceptos básicos de los vectores, desde entender sus propiedades hasta realizar operaciones y observar algunas aplicaciones. Los vectores son herramientas poderosas en la caja de herramientas matemática, facilitando la resolución de problemas en una variedad de campos. La belleza y adaptabilidad de los vectores los hacen indispensables tanto en una variedad de temas matemáticos como en aplicaciones prácticas por igual.


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