Класс 11
  1. Алгебра  1.1. Понимание последовательностей и рядов в алгебре  1.1.1. Понимание арифметических последовательностей  1.1.2. Арифметические прогрессии  1.1.3. Понимание геометрических последовательностей  1.1.4. Понимание геометрических рядов  1.1.5. Сходимость и расходимость  1.1.6. Понимание "суммы до бесконечности" в алгебре  1.1.7. Обозначение Сигма  1.2. Комплексные числа  1.2.1. Понимание мнимых и комплексных чисел  1.2.2. Операции с комплексными числами  1.2.3. Полярная и декартова формы комплексных чисел  1.2.4. Комплексные сопряженные  1.2.5. Модуль и аргумент  1.2.6. Теорема Муавра  1.2.7. Степени и корни комплексных чисел  1.3. Бином Ньютона  1.3.1. Расширение бинома  1.3.2. Общие термины в биномиальной теореме  1.3.3. Биномиальный коэффициент  1.3.4. Применения биномиальной теоремы  1.3.5. Треугольник Паскаля
  2. Функции и графики  2.1. Типы задач  2.1.1. Полиномиальная функция  2.1.2. Рациональные функции  2.1.3. Экспоненциальная функция  2.1.4. Логарифмическая функция  2.1.5. Тригонометрические функции  2.1.6. Поштучная работа  2.2. Преобразование функций  2.2.1. Перевод  2.2.2. Понимание отражений в преобразованиях функций  2.2.3. Растяжение и растяжение  2.2.4. Понимание вращения в функциях и графиках  2.3. Обратная функция  2.3.1. Нахождение обратной функции  2.3.2. Графики обратных функций  2.3.3. Свойства обратных функций  2.3.4. Ограничения для обратных функций
  3. Тригонометрия  3.1. Тригонометрические отношения и идентичности  3.1.1. Основные тригонометрические отношения  3.1.2. Понимание пифагорейских тождеств в тригонометрии  3.1.3. Формулы суммы и разности углов  3.1.4. Формула двойного угла  3.1.5. Понимание формул половинного угла в тригонометрии  3.1.6. Формулы произведения к сумме и суммы к произведению  3.2. Тригонометрические уравнения  3.2.1. Решение тригонометрических уравнений  3.2.2. Общие решения в тригонометрических уравнениях  3.3. Графики тригонометрических функций  3.3.1. График синуса  3.3.2. Понимание графика косинуса  3.3.3. График тангенса  3.3.4. Регулировка амплитуды и длительности  3.3.5. Фазовое изменение на графике тригонометрических функций  3.4. Применение тригонометрии  3.4.1. Законы синусов и косинусов  3.4.2. Площадь треугольников  3.4.3. Решение треугольников  3.4.4. Подшипники и навигация
  4. Введение в математический анализ  4.1. Понимание пределов и непрерывности в математическом анализе  4.1.1. Понятие предела  4.1.2. Односторонние пределы  4.1.3. Понимание пределов на бесконечности в математическом анализе  4.1.4. Непрерывность функции  4.1.5. Типы разрывов  4.2. Дискриминация  4.2.1. Определение производной  4.2.2. Правила дифференцирования  4.2.3. Производные высшего порядка  4.2.4. Правило цепи  4.2.5. Правило произведения  4.2.6. Понимание правила частного в математическом анализе  4.3. Применение дифференцирования  4.3.1. Скорость изменения  4.3.2. Касательная и нормаль  4.3.3. Максимум и минимум  4.3.4. Понимание возрастающих и убывающих функций  4.3.5. Задачи оптимизации  4.3.6. График кривой  4.3.7. Связанные скорости в применениях дифференцирования  4.4. Что такое интеграция?  4.4.1. Первообразные  4.4.2. Неопределенный интеграл  4.4.3. Определенный интеграл  4.4.4. Основная теорема анализа  4.4.5. Техники интеграции  4.4.6. Понимание площади под кривой в интегрировании  4.5. Применения интегрирования  4.5.1. Площадь между кривыми  4.5.2. Объемы тел вращения  4.5.3. Понимание среднего значения функции в математическом анализе
  5. Векторы и матрицы  5.1. Векторы  5.1.1. Введение  5.1.2. Операции с векторами  5.1.3. Понимание скалярного произведения  5.1.4. Векторное произведение  5.1.5. Применение в геометрии  5.1.6. Проекция векторов  5.2. Матрицы  5.2.1. Типы матриц  5.2.2. Понимание операций с матрицами  5.2.3. Определители  5.2.4. Обратная матрица  5.2.5. Решение систем линейных уравнений  5.2.6. Правило Крамера
  6. Вероятность и статистика  6.1. Понимание вероятности в математике  6.1.1. Основные понятия вероятности  6.1.2. Условная вероятность  6.1.3. Введение в независимые и зависимые события в теории вероятностей  6.1.4. Теорема Байеса  6.1.5. Комбинаторная вероятность  6.2. Случайные величины  6.2.1. Дискретная случайная величина  6.2.2. Непрерывная случайная величина  6.2.3. Распределения вероятностей  6.3. Распределения вероятностей  6.3.1. Понимание биномиального распределения  6.3.2. Нормальное распределение  6.3.3. Распределение Пуассона  6.3.4. Равномерное распределение  6.4. Фигуры  6.4.1. Меры центральной тенденции  6.4.2. Меры разброса  6.4.3. Сбор и представление данных  6.4.4. Корреляция и Регрессия  6.4.5. Техники выборки
  7. Координатная геометрия  7.1. Прямые линии в координатной геометрии  7.1.1. Форма наклона и пересечения в координатной геометрии  7.1.2. Формула расстояния в прямых линиях  7.1.3. Понимание формулы средней точки в координатной геометрии  7.1.4. Угол между линиями  7.1.5. Уравнение прямых  7.2. Конические сечения  7.2.1. Круг  7.2.2. Введение в параболы  7.2.3. Эллипс в коническом сечении  7.2.4. Понимание гиперболы в конических сечениях  7.2.5. Свойства конических сечений  7.2.6. Параметрические уравнения конусов  7.2.7. Полярные координаты коник
  8. Арифметическая логика  8.1. Введение в логику в математической логике  8.1.1. Утверждения и логические связки  8.1.2. Таблицы истинности  8.1.3. Логическое равенство  8.1.4. Кванторы в логике и математической логике  8.1.5. Методы доказательств  8.2. Понимание доказательств в математической логике  8.2.1. Прямое доказательство  8.2.2. Косвенные доказательства  8.2.3. Понимание доказательства от противного  8.2.4. Доказательство по математической индукции

Класс 11 → Векторы и матрицы → Векторы ↓


Проекция векторов


Проекция вектора - это тема в математике, которая включает в себя проекцию одного вектора на другой. Проще говоря, она помогает определить, насколько один вектор направлен в сторону другого вектора. Эта концепция особенно полезна в физике и инженерии, особенно в контекстах, связанных с силой, импульсом и нахождением компонентов вектора.

Понимание векторов

Вектор - это величина, имеющая как величину, так и направление. Векторы обычно представляются в виде стрелок в пространстве, где длина стрелки представляет величину, а направление указывает направление вектора.

В алгебраических терминах вектор v может быть представлен как:

v = [v1, v2, ..., vn]

Это простая нотация для вектора в n-измеренном пространстве. Для простоты мы часто работаем с 2-мерным или 3-мерным пространством.

Что такое проекция?

Проекция вектора u на другой вектор v - это способ описания влияния вектора v на вектор u. По сути, это тень или изображение вектора u на векторе v.

Визуальный пример

Ниже приведен визуальный пример проекции вектора, где вектор u проецируется на v:

Вы В ПрозВВы

На этом изображении проекция вектора u на вектор v показана как пунктирная зелёная линия. Она показывает, насколько вектор u направлен в сторону вектора v.

Математика за проекцией

Математическая формула для проекции вектора u на вектор v задаётся как:

projv(u) = (u · v / v · v) v

Здесь точка (·) представляет собой скалярное произведение двух векторов. Скалярное произведение двух векторов a и b вычисляется следующим образом:

a · b = a1 b1 + a2 b2 + ... + an bn

Результат проекции является скалярным множителем вектора v.

Пример пошагово

Рассмотрим очень простой пример, чтобы лучше понять эту концепцию. Рассмотрим векторы u = [4, 3] и v = [2, 1].

  1. Вычислите скалярное произведение u · v:
    2. u · v = 4 * 2 + 3 * 1 = 8 + 3 = 11
  2. Вычислите скалярное произведение v · v:
    3. v · v = 2 * 2 + 1 * 1 = 4 + 1 = 5
  3. Подставьте эти значения в формулу проекции:
    4. projv(u) = (11 / 5) * [2, 1]
  4. Выполните скалярное умножение:
    5. projv(u) = [22/5, 11/5] что примерно равно [4.4, 2.2]

Вектор [4.4, 2.2] представляет проекцию вектора u на вектор v, что показывает, насколько вектор u направлен в сторону вектора v.

Почему проекция вектора полезна?

Проекция вектора чрезвычайно полезна во многих областях, таких как физика, графика и инженерия. Например, в физике ее используют для разложения сил на компоненты, параллельные и перпендикулярные поверхностям. Это может быть важно при анализе объектов, расположенных на склоне, или в любой ситуации, связанной с гравитацией.

Проекция в более высоких измерениях

Теория проекции векторов не ограничена 2-мерными или 3-мерными пространствами. Она может распространяться на n-мерные пространства, что может быть особенно полезно в передовых областях, таких как машинное обучение и дата-сайенс, где встречаются очень высокомерные пространства.

Больше визуальных примеров

Рассмотрим другой пример с другими векторами a и b:

А Б ПрозБА

В этом примере оранжевая линия представляет вектор b, фиолетовая линия представляет вектор a, а пунктирная синяя линия указывает проекцию a на b.

Применение

Существует много применений проекции вектора. Вот некоторые примеры:

  • Физика: Вычисление компонентов скорости, силы или ускорения в определенном направлении.
  • Графика: Регулировка вида в 3D-графике для правильной симуляции перспективы.
  • Инженерия: Анализ структурного напряжения и деформации вдоль специальных линий в строительстве.
  • Искусственный интеллект: Использование высокомерных проекций для уменьшения размерности при распознавании образов.

Заключение

Понимание проекции векторов помогает в решении различных математических и реальных задач. Разделяя вектор на компоненты в разных направлениях, мы можем анализировать и решать сложные проблемы более управляемым образом. Эта концепция предоставляет ценную информацию о природе векторов и их взаимодействии друг с другом в различных пространствах. Независимо от того, решаете ли вы задачу в физике или рассчитываете размеры в графике, проекция векторов - это фундаментальный инструмент, который делает возможным выполнение этих задач.


Класс 11 → 5.1.6


U
username
0%
завершено в Класс 11

← предыдущая (5.1.5)
Применение в геометрии
следующая (5.2) →
Матрицы

комментарии 



Проекция векторов

https://www.buddymath.com/g11/5.1.6?bmal=ru